Zeigen Sie, dass x die Ungleichung ( \frac{2}{x} + \frac{x}{2} )^2 ≥ 2^2 für alle x ∈ ℝ außer 0 erfüllt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass x die Ungleichung (\( \frac{2}{x} \)+\( \frac{x}{2} \))^2 ≥ 2^2 für alle x ∈ ℝ außer 0 erfüllt.

Gibt es hier einen anderen Weg das zu beweisen außer Zahlen einzusetzen? Induktion vielleicht?

Comments

Tipp: Für alle \(x\in\mathbb R\)  gilt \(\left(x^2-4\right)^2\ge0\).

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass x die Ungleichung ( \frac{2}{x} + \frac{x}{2} )^2 ≥2^2 erfüllt.

Stichworte: ungleichungen,beweise

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass x die Ungleichung (\( \frac{2}{x} \)+\( \frac{x}{2} \))^2 ≥2^2 erfüllt.

Hinweis: für jede reelle Zahl r gilt die Ungleichung r^2≥0.

Man muss hier die vollständige Induktion anwenden.

1) Induktionsanfang x=1

6.25≥4

2) Induktionsannahme: Man trifft, dass die Ungleichung erfüllt wird.

3) Induktionsschritt: x=x+1

(\( \frac{2}{x+1} \)+\( \frac{x+1}{2} \))^2 ≥2^2

Wie soll ich da aber weitermachen?

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Hallo Babsie: Deine Frage war offenbar bereits vorhanden. Gibt es einen Unterschied in den beiden Fragestellungen?

Wenn nicht: Bitte kommentiere die vorhandene Antwort, falls du damit nicht weiterkommst.

Answer 1

$$\left( \frac{2}{x} + \frac{x}{2} \right)^2 \ge 2^2 \\ \left( \frac{4}{2x} + \frac{x^2}{2x} \right)^2 \ge 4 \\ \left( \frac{x^2 + 4}{2x} \right)^2 \ge 4 \\ \frac{x^4 + 8x^2 + 16}{4x^2} \ge 4 \\ x^4 + 8x^2 + 16 \ge 16x^2 \\ x^4 - 8x^2 + 16 \ge 0 \\ \left(x^2 - 4\right)^2 \ge 0$$

Comments

Du fängst mit dem an, was zu zeigen war, ist dass denn zulässig?

Falls es falsch war, kann man damit doch alles zeigen.

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Da es Äquivalenzumformungen sind kann man die Herleitung sowohl vorwärts als auch Rückwärts lesen. Ich spare mir hier die ⇔

D.h. einen Beweis aufstellen wird normalerweise in der Reihenfolge gemacht die ich hier mache.

Aufgeschrieben wird er dann meist in Umgekehrter Reihenfolge um die Schüler zu verwirren die sich wundern woher die erste Zeile kommt.

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Doch es ist so, als ob ich mein Haus auf moorastigem Boden aufbaue, dann Stockwerk auf Stockwerk errichtet, und dann mich oben freue, dass es einen Lufthaken gibt, an dem ich mich festhalten kann.

Bei meinem Verfahren, baue ich das Haus auf einem festen Fundament auf, da wackelt nichts.

Zugegeben habe ich vorher rumgespielt, um das Fundament zu finden.

So verhält es sich doch auch mit der vollständigen Induktion oder dem Beweis der Konvergenz.

Answer 2

x≠0

$$(4-x^2)^2/(4x^2)≥0$$

$$(16- 8x^2 +x^4)/(4x^2)≥0$$

$$4/x^2 -2+x^2/4≥0$$

$$4/x^2 +2+x^2/4≥4$$

$$(2/x+x/2)^2 ≥2^2$$

wzzw

Comments

woher kommt die erste Zeile?

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@mathie

Schreib das nur mal von unten nach oben auf.

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Von der ersten Zeile, weiß ich , dass sie richtig ist, da alle Quadrate größer gleich Null sind.

Woher sie kommt ist also egal, doch der Mathecoach hat schon recht, denn ich wusste ja, was zu zeigen war.

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verstehe, dankeschön! :)

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woher kommt die erste Zeile?

Hallo Hogar,
deine erste Zeile ist ohne die Vorarbeit
des Mathecoachs nicht verständlich
und hat mit dem Fragetext auch nichts
zu tun.

Die Antwort des Mathecoachs baut
auf dem Fragetext auf und ist in jedem
Schritt komplett nachvollziehbar.

mfg Georg

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Hallo Georg,

Meine erste Zeile steht auf festen Füßen, denn eine Quadratzahl ist immer größergleich Null.

Mehr ist zum Verständnis ersteinmal nicht nötig. Die folgenden Schritte, hatten keine Fehler und oh, Wunder, konnte ich das zeigen, was gefordert wurde. Das ist der richtige Weg. Nun hatte ich während ich das gemacht habe, nicht die Antwort des Mathecoach angesehen, doch ich hatte mir schon überlegt, was ich zeigen wollte. Das was gezeigt werden sollte, habe ich auch gezeigt.

Der Mathecoach ist davon ausgegangen, dass die Aussage richtig ist, ich hingegen habe nur vorausgesetzt, das die Quadratzahl größergleich 0 ist. Wie gesagt, mein Vorgang steht auf festen Boden, da war jeder Schritt nachvollziehbar und dann wurde doch die Behauptung bestätigt.

Ich schätze den Mathecoach sehr, doch hier kann ich ihm nicht zustimmen, dass ist, als wenn bei der vollständigen Induktion vom Ind Schluss zur Ind. Annahme gerechnet wird. Ich denke nach wie vor, dass mein Weg der richtige ist. Woher die Idee stammt, selbst wenn ich es geträumt hätte, spielt keine Rolle für die Beweisführung. Der Anfang war richtig und die Schritte waren alle abgesichert. Da wackelt nichts, es steht auf einem festen Fundament.

Liebe Grüße, Hogar

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Werter Hogar,

natürlich hast du hier vollkommen recht.

Man fragt sich allerdings, warum du das in deiner eigenen Antwort auf Rs Frage nicht selbst beherzigst.
Dein Anfang  Winkel BDA = 210° sollte doch wohl auch da erst aus gesicherten Voraussetzungen geschlossen werden und also erst am Ende und nicht am Beginn einer Reihe von Gleichungen stehen.

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@gast hj2166

Ja, das stimmt, doch die Rechnung hatte ich erst später nachgetragen. Zuerst hatte ich nur den nachgefragten Winkel ohne Beweis angegeben, denn ein Beweis wurde nicht verlangt.

Da aber keiner darauf reagierte, hatte ich den Beweis geführt, dass die von mir angegebenen Winkel richtig gewählt wurden.

Ich hatte also die Winkel zwischen einigen Punkten angegeben. Dann erst hatte ich gezeigt, dass diese Winkel und die verlangte Beziehung der Strecken auch zusammen passt.

Beim Beweis aber bin ich von bekannten Tatsachen ausgegangen.

Vermutlich ist es aber besser die Diskussion dort fortzusetzen. Obwohl ich mich freue, dass es Oberhaupt registriert wird

Gruß, Hogar

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Willst du mir sagen, dass du von \((4-x^2)^2/(4x^2)≥0\) ausgegangen bist und dich dann rückwärts nach vorne gearbeitet hast? Nein, du hast vorwärts gedacht und es rückwärts notiert - und das bei Äquivalenzumformungen. Es macht absolut keinen Unterschied, entscheidenes Moment ist wohl Mis- oder Philanthropie.

Answer 3

Etwas minimalistischer geht es vielleicht so: $$\begin{aligned} \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{x}{2} \right)^2 & \ge 2^2 && \mid -2^2 \\[1em] \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{x}{2} \right)^2 -2^2 & \ge 0 \\[1em] \left( \dfrac{2}{x} - 2 + \dfrac{x}{2} \right) \cdot \left( \dfrac{2}{x} + 2 + \dfrac{x}{2} \right) & \ge 0 && \mid\cdot 2x && \mid\cdot 2x\\[1em] \left( 2^2 - 2\cdot 2x + x^2 \right) \cdot \left( 2^2 + 2\cdot 2x + x^2 \right) & \ge 0 \\[1em] \left( 2 - x \right)^2 \cdot \left( 2 + x \right)^2 & \ge 0 \\[1em] \end{aligned}$$Vollständige Induktion ist keine gute Idee, da die Aussage ja für fast alle \(x\in\mathbb{R}\) gezeigt werden soll.

Comments

Etwas minimalistischer   in der Tat, aber viel minimalistischer ist

(2/x - x/2)^2 ≥ 0
⇔ (2/x)^2 - 2 + (x/2)^2 ≥ 0   | +4
⇔ (2/x)^2 + 2 + (x/2)^2 ≥ 4
⇔ (2/x + x/2)^2 ≥ 2^2

wobei die zweite und dritte Zeile auch entfallen können.

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Ja, das ist sehr schön!