f ist konvex genau dann, wenn die Ungleichung f(y)≥ f(x) + f'(x)(y-x) erfüllt ist. Beweis?

Question

Brauche hierbei bitte einige Ansätze wie ich das lösen soll.

f ist konvex genau dann, wenn die Ungleichung f(y)≥ f(x) + f'(x)(y-x) erfüllt ist.  Beweis?

Comments

Wie habt ihr "konvex" bei Funktionen definiert?

In den Unterlagen schauen oder z.B. Definition aus Wikipedia wählen.

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"Eine Funktion f: (a,b) → ℝ heißt konvex, wenn für alle x,y ∈ (a,b) und θ ∈ (0,1) gilt

f (θx + (1-θ) y) ≤ θ f(x) + (1-θ) f(y). "

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Guter Anfang.

Und wie ist f'(x) definiert ?

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"Sei f:(a,b) → ℝ eine zweimal differenzierbare Funktion und f''(x) ≥ 0 für alle x ∈ (a,b). Dann ist f konvex."

Mehr gibt es zum Thema "konvex" nicht.

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Ich meine: Wie ist die Ableitung von f definiert? Das wäre dann f ' (x) und könnte irgendwie im Beweis nützlich sein.

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Ich würde diese Aufgabe hier gerne weiterführen, da ich auch Probleme mit dieser Aufgabe habe. Die Ableitung haben wir wie folgt definiert

f'(x) = lim _h→0  (f(x+h) - f(x))* 1/h oder

f'(x) = lim _x→a  (f(x)-f(a))/(x-a). Ich setze die zweite Definition ein und erhalte

f(y) ≥ f(x) + (lim x→a  (f(x)-f(a))/(x-a)) (y-x)

⇔ f(y) ≥ f(x) + y * (lim x→a  (f(x)-f(a))/(x-a)) - x * (lim x→a  (f(x)-f(a))/(x-a))

⇔ f(y) - f(x) ≥ y * (lim x→a  (f(x)-f(a))/(x-a)) - x * (lim x→a  (f(x)-f(a))/(x-a))

Aber wie soll es nun weitergehen? bzw. ist das überhaupt der richtige Ansatz?