Korrekturen zu „10 der beeindruckendsten Formeln der Mathematik“

Question

Ich bin gerade dabei, das Video „10 der beeindruckendsten Formeln der Mathematik“ neu zu sprechen, weil es damals zu reißerisch aufgenommen wurde:

In den Kommentaren gibt es verschiedene Fehlerhinweise, für die ich die Korrekturen benötige, da mir das Wissen hierzu fehlt. Hier eine Auflistung dieser Hinweise:

1. e^-x^2 repräsentiert keinesfalls die Normalverteilung. Das Integral über die reellen Zahlen muss nämlich für eine Dichte 1 ergeben und das tut es, wie in dem Video gezeigt nicht.

2. Die Formel unter 10 funktioniert nur wenn die nicht-trivialen Nullstellen der zeta-funktion alle den Realteil 1/2 haben. Und das konnte bisher noch nicht bewiesen werden (wobei ich aber glaube es stimmt).

3. Das Problem von pi(x), der PZ-Zählfunktion ist allerdings gravierend. Sie setzt voraus, dass wir die NS der Zeta-Funktion kennen; tun wir aber nicht. Zumindest ist sind sie nicht bewiesen, was quasi das gleiche zur Folge hat.

4. Im Video sind ein paar Fehler: Harmonische Reihe stimmt nicht, Primzahlendefinition ist nicht ganz korrekt, die Aussage mit der Normalverteilung kann keinesweges stimmen.

5. Die erste Formel wäre besser e^(2*i*pi) = 1 oder anders geschrieben e^(i*tau) = 1

6. Bezüglich der Harmonischen Reihe: 1/4, 1/9, 1/16 etc. sind keine Reziproke.

7. zeta(1)= unendlich und zeta(1) nicht definiert sind zwei verschiedene sachen

Es wurden bereits korrigiert (für die neue, noch nicht veröffentlichte Version):

8. „Bei Formel 7 habt ihr was falsch gemacht da kommt nämlich 354224848179261915075 raus.“ ✓

9. „Georg Cantor“ (mit C statt K) ✓

10. „Konstante“ statt „Naturkonstante“ ✓

Welche Änderungen müssen (vgl. Punkte 1 bis 6) eingearbeitet werden, damit es mathematisch korrekt ist?

Herzlichen Dank vorab.

Comments

1.

Die Normalerteilung hat die Dichtefunktion

f1(x) = 1/√(2·pi·σ^2)·e^(- (x - μ)^2/(2·σ^2))

Die Standardnormalverteilung also μ = 0 und σ = 1 hat die Dichtefunktion

f2(x) = 1/√(2·pi)·e^(- 1/2·x^2)

Die Funktion

f3(x) = e^(- x^2)

ist also "nur" eine nicht normierte Gaus'ssche Glockenkurve.

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Ich frage noch mal anders :)

Hier ist die neu gesprochene Version: https://www.matheretter.de/videos/free/220.mp4 (14 MB)

Soll irgendein Hinweis von oben noch angezeigt werden oder kann das Video so bleiben?

Falls etwas eingearbeitet werden soll, müsste ich exakt wissen, wie das Bild an der entsprechende Videostelle geändert aussehen sollte. Oder was anders gesprochen werden müsste.

Answer 1

Aloha :)

Hier meine Bemerkungen...

Punkt 1:

0:52 Die Formel zum Euler-Produkt wird eingeblendet und auf der rechten Seite steht ein Produkt über \(p\). Es fehlt jedoch die Angabe, was \(p\) symbolisiert. Das Rätsel wird erst bei 1:06 nebenläufig gelöst, dass nämlich \(p\) über alle Primzahlen laufen soll. Es wird auch erst sehr spät aufgelöst, dass \(s>1\) gelten muss.

Ich würde direkt dazu schreiben, dass \(p\) über alle Primzahlen läuft und \(s>1\) sein soll.

Punkt 2:

1:49 Die Standardnormalverteilung hat die Form \(\Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^z e^{-x^2/2}\,dx\). Es fehlt daher nicht nur der Normierungsfaktor, sondern auch der Faktor \(\frac{1}{2}\) im Exponenten und die Abhängigkeit von einer Variablen \(z\). Ich würde eher sagen, dass die Kenntnis der Fläche von \(-\infty\) bis \(\infty\) wichtig ist, um die Normalverteilung zu normieren.

Punkt 3:

3:06 Der Satz des Pythagoras ist nicht die berühmteste Formel. Dies ist \(E=mc^2\).

Punkt 4:

5:14 "Die harmonische Reihe ist... nichts anderes als \(\zeta(1)\)." Vorne bei 1:06 wurde aber gesagt, dass \(s>1\) sein muss.

Punkt 5:

Bei der Primzahlzählfunktion würde ich noch eine Abschätzung angeben, die etwas "griffiger ist":$$0,9212\cdot\frac{x}{\ln(x)}<\pi(x)<1,1056\cdot\frac{x}{\ln(x)}$$unter dem "Monster" kann man sich ja sonst nichts richtig vorstellen ;)

Comments

Ich werde morgen früh einige Änderungen entsprechend vornehmen.

5:14 "Die harmonische Reihe ist... nichts anderes als ζ(1)." Vorne bei 1:06 wurde aber gesagt, dass s>1 sein muss.

Mhh, kann man das ggf. trotzdem so belassen?

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Mir ist das mit dem \(s>1\) nur aufgefallen, weil ich sehr genau zugehört habe, damit uns keine Bugs durchgehen. Du kannst das so lassen und hoffen, dass es niemandem auffällt, oder du "rettest" das, indem du bei 5:14 z.B. sagst: "Das wäre die Zeta-Funktion mit \(s=1\).", also in den Konjunktiv gehst.

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Super Idee. :)

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Eingebaute Änderungen:

1. Von 00:51 - 01:09 – Unten im Bild ergänzt: "p läuft über alle Primzahlen, s > 1"

2. Von 01:48 - 01:51 – Audio neu: "Die Kenntnis dieser Fläche ist übrigens wichtig in der Statistik, um die Normalverteilung zu normieren.

3. Von 03:07 - 03:10 – Audio neu: "Dies ist wahrscheinlich eine der berühmtesten Formeln."

4. Von 05:11 - 05:16 – Audio neu: "Die harmonische Reihe wäre eigentlich nichts anderes als die Zeta-Funktion mit s = 1."

Ich denke, bei Punkt 5 reicht es, die Formel anzuzeigen. Das allein ist schon für die meisten nicht verständlich, da hilft auch keine Abschätzung. :)

Neue Version nun hier einsehbar: https://www.matheretter.de/videos/free/220.mp4 (14 MB)

Wenn du dein finales Okay gibst, dann lade ich die neue Version des Videos auf Youtube hoch.

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Aloha Kai ;)

Ich habe mir die neue Version des Videos jetzt noch 2-mal sehr aufmerksam angesehen und mir sind keine Unstimmigkeiten mehr aufgefallen.

Die Abschätzung für \(\pi(x)\) muss nicht unbedingt rein, war nur so eine Idee. Ich bin kein Lehrer und habe auch keine didaktische Ausbildung, daher kann ich nicht bewerten, ob das Vorführen der Abschätzung pädagogisch sinnvoll ist oder nicht.

Ich denke, dir ist ein sehr interessantes Video gelungen.

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Super. Das Video ist nun veröffentlicht:

Danke noch mal! :)