Finde Bijektionen von den folgenden Abbildungen

Question

Aufgabe: Finde Bijektionen

a) f: [a,b] → [c,d]

b) f: R-->R\Q

Problem/Ansatz:

Ich verstehe eigentlich die ganze Aufgabe nicht. Da ich die Funktion nicht weiss, wie soll ich wissen ob es sich um eine bijektive Funktion handelt oder nicht?

Comments

Da steht ja auch "finde". Du sollst eine Abbildung finden, die eine Bijektion ist, und dann beweisen, dass es sich tatsächlich um eine Bijektion handelt.

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Bijektion zwischen \(\mathbb{R}\) und \( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)? Ich weiß, dass \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) überabzählbar ist, aber auch gleichmächtig?

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Ja, die sind gleichmächtig, generell ist jede überabzählbare Teilmenge von \(\mathbb{R}\) gleichmächtig zu \(\mathbb{R}\), zumindest wenn man "an genug Sachen glaubt", wenn du verstehst was ich meine (damit nehme ich einfach mal die Kontinuumshypothese für alle "schönen" Mengen als gegeben). Es gibt eine ziemlich einfache Bijektion \(\mathbb{R}\to\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\), die man als Gleichung hinschreiben kann, die halte ich aber trotzdem noch für zu kompliziert für Leute, die seit ein paar Wochen wissen, was eine Menge ist.

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Oh okay, dann habe ich beim Thema Abzählbarkeit etwas geschlafen :P

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Glaube ich nicht, ich glaube das wird außerhalb einer echten Mengenlehre/Logik-vorlesung nicht gelehrt. Dass ALLE Teilmengen von R entweder abzählbar oder gleichmächtig zu R sind, ist die Kontinuumshypothese und bekanntermaßen unabhängig von ZFC. Für den "everyday mathematician" ist aber die wichtigere Frage, ob die Mengen, denen man so im Alltag begegnet, die Kontinuumshypothese erfüllen. Gödel hat das mittels der "konstruierbaren" Mengen modelliert, und da gelten tatsächlich Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese. Die Mengen, denen man außerhalb der Mengenlehre so begegnet, sind in 99% der Fälle konstruierbar, also kannst du heuristisch immer davon ausgehen, dass die Teilmengen von R, die du einfach mal so hinschreibst, abzählbar oder gleichmächtig zu R sind.

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Ich merke schon, dass du dich in dem Thema ausgezeichnet auskennst :)

Ich mache jetzt erstmal Maß- und Integrationstheorie - peu à peu.

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Danke erstmals, verstehe jetzt immerhin die Aufgabe, was ja zum lösen nicht schlecht wäre ;)

Bei a) habe ich ja keine diskreten Mengenangaben, also wenn ich zum Beispiel als Funktion x-->2x nehmen würde, wäre dies doch injektiv und surjektiv und somit eine Bijektion?

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Injektiv wäre die Funktion, wenn sie überhaupt wohldefiniert ist. \(x\mapsto 2x\) ist jedoch gar keine Funktionsvorschrift, wenn du z.B. von \([0,1]\) auf \([-3,-1]\) abbilden willst. Es wäre allerdings eine Bijektion von [0,1] nach [0,2] zum Beispiel. Oder \(x\mapsto 2x+1\) wäre eine Bijektion von [0,1] nach [1,3]. Überleg mal ein bisschen über diese Beispiele. Du musst dir also für allgemeine a<b, c<d etwas einfallen lassen (abhängig von diesen vier Parametern!).

Answer 1

Für das erste reicht eine lineare Funktion. Der Graph der zugehörigen Geraden geht durch (a;c) und (b;d) . Führt dann wohl auf

f(x)= ((c-d)*x +ad-bc) / (a-b)

Comments

Danke für die rasche Antwort, ich verstehe allerdings nicht wie du auf diese Funktion gekommen bist. Könntest du mir vielleicht einen Ansatz dazu geben?

Answer 2

Ich gebe dir mal eine Lösungsskizze für die b), vielleicht hilft es dir ja. Es ist keine Komplettlösung, ein paar kleine Details müsstest du noch auffüllen.

Ich teile die Menge \(\mathbb{R}\) mal in zwei Mengen auf, nämlich:

1. Die Menge \(\{q+n\sqrt{2}|q\in\mathbb{Q},n\in\mathbb{N}\}\), ich nenne diese Menge mittels "abuse of notation" einfach mal: \(\mathbb{Q}+\mathbb{N}\cdot\sqrt{2}\). Konvention: \(0\in\mathbb{N}\). Bemerke, dass dann \(\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}+\mathbb{N}\cdot\sqrt{2}\), da für alle rationalen Zahlen \(q\) gilt: \(q=q+0\sqrt{2}\).

2. Alle anderen reellen Zahlen, also das Komplement der ersten Menge, die nennen wir \(K\).

Eine mögliche Bijektion lässt sich jetzt recht einfach schreiben durch:

\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},f(x)= \begin{cases} x+\sqrt{2}&,x\in\mathbb{Q}+\mathbb{N}\cdot\sqrt{2}\\ x &,x\in K. \end{cases}\)

Erstmal Wohldefiniertheit prüfen, also die beiden Fälle kommen sich nicht in die Quere. Geschenkt, da die beiden Mengen komplementär sind.

So jetzt kommt der Witz:

1. Jedes Element aus \(K\) wird getroffen, denn auf \(K\) ist die Abbildung einfach nur die Identität. Kein Element aus \(K\) wird mehr als einmal getroffen, denn kein Element in \(\mathbb{Q}+\mathbb{N}\cdot\sqrt{2}\) kann nach \(K\) abbilden, denn \(q+n\sqrt{2}\) wird einfach nur auf \(q+(n+1)\sqrt{2}\) geschickt.
2. Die Elemente in \(\mathbb{Q}+\mathbb{N}\cdot\sqrt{2}\), die getroffen werden, sind genau die nicht-rationalen, weil ein Bildelement von der Form \(q+k\sqrt{2}\) sind, mit \(k\geq 1\). Damit eine rationale Zahl getroffen wird, müsstest du ein \(n\) haben mit \(n+1=0\), was natürlich nicht geht. Auf diesem Teil der Abbildung ist die Abbildung natürlich auch injektiv.

Alles in Allem ist also die Abbildung injektiv und das Bild ist genau der angegebene Zielbereich, also eine Bijektion.