Wie kann man hier weiterintegrieren?

Question

wisst ihr vielleicht, wie man hier weiterintegrieren kann, wenn man den hinteren Teil durch das t ja nicht durch die Gamma-Funktion lösen darf?

$$\frac{1}{(m-1)!}\int \limits_{0}^{t}a^{m-1}e^{-a}da$$

LG

Answer 1

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) x^n e^(-ax) dx

= \( \frac{Γ(n+1}{a^(n+1)} \) für a>0 n>-1

Γ(n+1) ist die Gammafunktion

laut Bronstein Semendjajew

Doch das hilft nicht weiter, jetzt hätte ich noch einen längeren Weg, der auch in dem Buch steht

\( \int\limits_{}^{} \) x^n e^(ax)dx=

1/a x^n e^(ax) - n/a \( \int\limits_{}^{} \) x^(n-1) e^(ax)dx

Das macht man also sukzessive, bis x^0=1 stehen bleibt. Wir bekommen also eine Summe mit alternierenden Vorzeichen die Summanden überblicke ich hier am Smartphon nicht, doch es müsste aufgehen. Wir können hier ja a=-1 setzen, damit die Funktion vergleichbar ist.

Comments

... wenn man den hinteren Teil durch das t ja nicht durch die Gamma-Funktion lösen darf?

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danke für die Antwort. Aber ich darf das ja leider nicht so umformen, wegen des t als obere Integralgrenze:(

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Danke, das habe ich übersehen.

Ich ergänze meine Antwort.

Darum habe ich ja die Antwort erweitert.

Answer 2

Führe einen Parameter \( z \) ein: $$ \int a^{m-1} e^{-a \cdot z} ~\textrm{d}a $$ Ziel ist später \( z=1 \) zu setzen. Jetzt kannst du den Integranden als Ableitung bezüglich \( z \) darstellen: $$ \frac{\textrm{d}^{m-1}}{\textrm{d}z^{m-1}} e^{-a\cdot z} = (-a)^{m-1} e^{-a\cdot z} $$ Also $$ \int a^{m-1} e^{-a \cdot z} ~\textrm{d}a = \int (-1)^{m-1} \frac{\textrm{d}^{m-1}}{\textrm{d}z^{m-1}} e^{-a\cdot z}~\textrm{d}a $$ Vertausche dann Integration und Differentation: $$ \int (-1)^{m-1} \frac{\textrm{d}^{m-1}}{\textrm{d}z^{m-1}} e^{-a\cdot z}~\textrm{d}a = (-1)^{m-1} \frac{\textrm{d}^{m-1}}{\textrm{d}z^{m-1}} \int e^{-a\cdot z}~\textrm{d}a $$ Das Integral ist nun leicht zu lösen: $$ (-1)^{m-1} \frac{\textrm{d}^{m-1}}{\textrm{d}z^{m-1}} \int e^{-a\cdot z}~\textrm{d}a = (-1)^{m-1} \frac{\textrm{d}^{m-1}}{\textrm{d}z^{m-1}} \left(- \frac{1}{z} e^{-a\cdot z} \right) $$ Die verallgemeinerte Produktregel anwenden: $$  = (-1)^{m} \sum_{k=0}^{m-1} \begin{pmatrix}m-1 \\ k\end{pmatrix}\left( \frac{\textrm{d}^{k}}{\textrm{d}z^{k}} \frac{1}{z} \right) \left(\frac{\textrm{d}^{m-k-1}}{\textrm{d}z^{m-k-1}} e^{-az} \right) $$ $$=  (-1)^{m} \sum_{k=0}^{m-1} \begin{pmatrix}m-1 \\ k\end{pmatrix}\left( \frac{(-1)^k k!}{z^{k+1}} \right) \left( (-a)^{m-k-1} e^{-az} \right) $$ Um das gesuchte Integral zu erhalten setze jetzt \( z = 1 \): $$=  (-1)^{m} \sum_{k=0}^{m-1} \begin{pmatrix}m-1 \\ k\end{pmatrix}\left( (-1)^k k! \right) \left( (-a)^{m-k-1} e^{-a} \right) $$ $$=  -\sum_{k=0}^{m-1} \begin{pmatrix}m-1 \\ k\end{pmatrix} k! \cdot a^{m-k-1} e^{-a}$$ $$=  -\sum_{k=0}^{m-1} \frac{(m-1)!}{(m-k-1)!} a^{m-k-1} e^{-a}$$ Jetzt die Grenzen einsetzen:$$ \int_0^t a^{m-1} e^{-a \cdot z} ~\textrm{d}a = -\sum_{k=0}^{m-1} \frac{(m-1)!}{(m-k-1)!} t^{m-k-1} e^{-t} - (-(m-1)!) \\= (m-1)! - \left( \sum_{k=0}^{m-1} \frac{(m-1)!}{(m-k-1)!} t^{m-k-1}  \right) e^{-t} $$
Überprüfe selbstständig auf Rechenfehler.

Comments

Wow, vielen lieben Dank:)