extremalstellen/ Partielle Integration

Question

Extremalstelln/ Aufgabe: Ich brauche die Extremen/Sattelpunkte Dieser Funktion ZU erfahren: f(x,y)= 1/3x^3 -3y^2 -x+2y

Problem/Ansatz: f’(x)= x^2 -1

f’(y)= 2-6y

f”(xx)=2x

f”(xy)=0

f”(yy)=-6

Weiss Nicht wie es weiter gehen soll

Answer 1

Hallo

f'(x) ist eine schlechte Darstellung für f_x(x,y)

die 2 ersten Ableitungen 0 setzen gibt die kritischen Punkte, dann in die Hessematrix einsetzen .

Gruß lul

Comments

Das bedeutet es  handelt sich um ein Sattelpunkt?

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Hallo

du hast doch 2 kritische Stellen, ein Sattel, ein Max?

lul

Answer 2

Aloha :)

Kandidaten für Extremstellen von$$f(x,y)=\frac{1}{3}x^3-3y^2-x+2y$$finden wir dort, wo der Gradient zu null wird:$$0\stackrel{!}{=}\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{x^2-1}{-6y+2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm1\;\land\;y=\frac{1}{3}$$Zur Bestimmung der Art des Extremums brauchen wir die Hesse-Matrix:

$$H(x,y)=\begin{pmatrix}\partial_{xx}f & \partial_{xy}f\\\partial_{yx}f & \partial_{yy}f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x & 0\\0 & -6\end{pmatrix}$$Für \(x=-1\) ist die Hesse-Matrix negativ definit, sodass wir ein Maximum vorliegen haben. Für \(x=1\) ist die Hesse-Matrix indefinit, sodass dort kein Extremum vorliegt.

Wir haben also ein Maximum bei \(\left(-1\,;\,\frac{1}{3}\right)\).

Answer 3

f(x, y) = 1/3·x^3 - 3·y^2 - x + 2·y

Gradient
f'(x, y) = [x^2 - 1, 2 - 6·y] = [0, 0] → (x = -1 ∧ y = 1/3) ∨ (x = 1 ∧ y = 1/3)

Hesse-Matrix
f''(x, y) = [2·x, 0; 0, -6]
x = -1 ∧ y = 1/3 → [-2, 0; 0, -6] → HP(-1 | 1/3 | 1)
x = 1 ∧ y = 1/3 → [2, 0; 0, -6] → SP(1 | 1/3 | -1/3)