Berechnen Sie Extremwerte und Sattelpunkte der folgenden Funktion:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie Extremwerte und Sattelpunkte der folgenden Funktion:
\( f(x, y)=y^{2}-y x^{2}+4 y+1 \)

Problem/Ansatz:

Ist die Lösung korrekt? :)

Als 1. habe ich die partiellen Ableitungen gebildet

fx= -2yx

fy = 2y - x^2 +4

fxx = -2y

fyy =  2

fyx / fxy = -2x

Dann habe ich fy = 0 gesetzt  und nach y aufgelöst

y= 0.5x^2 - 2

Dann habe ich die 0.5x^2 - 2 genommen und als y wert in fx getan und = 0 gesetzt

-2* 0.5x^2 - 2 * x = 0

x1= -2

x2= 0

Diese x werte habe ich in y= 0.5x^2 - 2 gepackt und die y werte für die Kandidaten berechnet

also

Kandidat 1 (  0 / -2)

Kandidat 2 ( -2 / -4)

Darauf hin habe ich eine Hessematrix gebildet mit fxx, fxy, fyx, fyy und bin für

Kandidat 1 ( 0 / -2) auf ein TP gekommen da als Ergebnis die positive Zahl 8 rauskam.

und für Kandidat 2 ( -2 / -4 ) kam das Ergebnis 0 raus, heißt es das beim Kandidat 2 ein Sattelpunkt ist oder habe ich irgendwo vorher Einen Fehler gehabt ?

Answer 1

Hm,

der Kandidat 1 ist OK, der Kandidat 2 passt net so gut ;-).

Du kannst Dir das ja mal anschauen

https://www.geogebra.org/m/bu3QjrBQ

Comments

Irgendwie blicke ich nicht durch wo der Fehler liegt. Also die partiellen Ableitungen sind richtig



-2yx

2y-x^2+4

sind meine Gradienten



2y-x^2+4 = 0    ;  nach y auflösen

y= 0.5 x^2 - 2

-> y füge ich jetzt beim 1. Gradienten ein



-2 * 0.5 x^2 - 2  * x = 0        ; nach x auflösen

kriege da dann x1= 0

und x2 = -2



somit sind diese 2 ja die x Koordinaten für p1 und p2

P1( 0 /  ? )

P2 ( -2 / ? )

Um die Y Koordinaten zu berechnen nehmen wir wieder

y= 0.5 x^2 - 2  und fügen die x werte ein

0.5* 0^2 - 2

= -2  ; somit P1 ( 0 / -2)

y= 0.5 x^2 - 2

0.5* -2^2 - 2
= -4 ; somit P2 ( -2 / -4)



womit wir ja wieder beim gleichen zu beginn wären. Wo genau liegt mein Fehler haha?

---

>y= 0.5 x² - 2

-> y füge ich jetzt beim 1. Gradienten ein<

wird daraus

-2 x (0.5 x² - 2) =0

\(-x^{3} + 4 \; x=0\) und nicht -2 * 0.5 x² - 2  * x = 0   

---

Also ich habe jetzt

-x^3 +4x = 0

x*(-x^2 + 4) = 0

-x^2 +4 = 0     / -4

-x^2 = -4         /  -1

x^2 = 4       / Wurzel ziehen

x1= 0

x2= 2

x3= -2

also P1( 0  / ?)

P2 ( 2  / ?)

P3 ( -2 / ?)

y= 0.5 * 0 ^2 -2

= -2

y= 0.5 * 2 ^2 -2

=0

y= 0.5 * -2 ^2 -2

=-4

somit:

P1( 0  / -2)
P2 ( 2  / 0)
P3 ( -2 / -4)

Dann wird die Hessematrix erstellt etc

Bei P1 bekomme ich als Ergebnis = 8 , Ist ein TP

Bei P2 bekomme ich als Ergebnis = -16 , also Indefiniert somit Sattelpunkt

Bei P3 bekomme ich jedoch wieder = 0 ? Was bedeutet es denn wenn man = 0 Kriegt? Oder habe ich erneut einen fehler?

---

und nochmal

>y= 0.5 * -2² -2 <

y= 0.5 * (-2)² -2 = 0

minus*minus=plus

für jemand der mehrdimensionale funktionen differenziert sind das erschreckende fehlgriffe in den basics,oder?

Answer 2

Hallo

irgendwas ist schief gelaufen für (-2,-4) ist fx≠0

fang an mit fx=0 daraus x=0 oder y=0 damit in fy=0

der Punkt (0,-2) ist richtig und ein Min.

Gruß lul

Comments

Irgendwie blicke ich nicht durch wo der Fehler liegt. Also die partiellen Ableitungen sind richtig

-2yx

2y-x^2+4

sind meine Gradienten

2y-x^2+4 = 0    ;  nach y auflösen

y= 0.5 x^2 - 2

 -> y füge ich jetzt beim 1. Gradienten ein

-2 * 0.5 x^2 - 2  * x = 0        ; nach x auflösen

kriege da dann x1= 0

und x2 = -2

somit sind diese 2 ja die x Koordinaten für p1 und p2

P1( 0 /  ? )

P2 ( -2 / ? )

Um die Y Koordinaten zu berechnen nehmen wir wieder

y= 0.5 x^2 - 2  und fügen die x werte ein

0.5* 0^2 - 2

= -2  ; somit P1 ( 0 / -2)

y= 0.5 x^2 - 2

0.5* -2^2 - 2
= -4 ; somit P2 ( -2 / -4)

womit wir ja wieder beim gleichen zu beginn wären. Wo genau liegt mein Fehler haha?

---

Hallo

Dein Fehler: wenn x≠0 muss y=0 sein, wegen fx=0

du hast fx=0 folgt

du hattest 2 x Werte für y=0 1. x=0,  2. x=-2

bei x=-2 muss aber y=0 sein  du rechnest nur mit fy=0 und berücksichtigst nicht, dass auch fx=0 sein muss.

lul