wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen damit 200 schrauben zu 95% fehlerfrei sind mit gtr

Question

gegeben ist:

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch
die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen,
dass im Durchschnitt 4,5 % der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden
wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit p = 0,045 ist.

Aufgabe:

Ermitteln Sie, wie viele Schrauben mindestens entnommen werden müssen, damit mit
einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 200 dieser Schrauben
fehlerfrei sind.

die Aufgabe dar mit einem gtr ich hab den ti-nspire cx berechnet werden. Ich weiß leider gar nicht wie ich heir vorgehen muss.

Answer 1

Es müssen n Schrauben mit n>200  entnommen werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 200 Schrauben fehlerfrei sind, ist

\( \begin{pmatrix} n\\200 \end{pmatrix}\cdot 0,955^{200}\cdot 0,045^{n-200}\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 201 Schrauben fehlerfrei sind, ist
\( \begin{pmatrix} n\\201 \end{pmatrix}\cdot 0,955^{201}\cdot 0,045^{n-201}\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 202 Schrauben fehlerfrei sind, ist
\( \begin{pmatrix} n\\202 \end{pmatrix}\cdot 0,955^{202}\cdot 0,045^{n-202}\).

usw.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei alle n Schrauben fehlerfrei sind, ist
\( \begin{pmatrix} n\\n\end{pmatrix}\cdot 0,955^{n}\cdot 0,045^{n-n}\).

Die Summe all dieser Wahrscheinlichkeiten soll größer oder gleich 0,95 sein.

Zu lösen ist also

\( \sum_{k=200}^n\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot 0,955^{k}\cdot 0,045^{n-k}\ge0,95\).

Answer 2

Die Anzahl \(X\) der fehlerfreien Schrauben ist binomialverteilt mit \(p = 0.955\) und unbekanntem \(n\). Gesucht ist \(n\), so dass

        \(P(X \geq 200) \geq 0.95\)

ist. Diese Bedingung kann mittels Gegenwahrschienlichkeit umgeform werden zu

        \(P(X\leq 199)\leq 0.05\).

Also muss

        \(n = \operatorname{invBinomN}(0.05,\,0.955,\,199) \)

sein.

Comments

Womit/wie soll man n finden`

Mit Probieren komme ich hier nicht weiter:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

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Mit der Funktion \(\operatorname{invBinomN}\) soll man \(n\) finden. Das steht so in meiner Antwort.

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Wie geht das? Ich kenne das nicht.

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Über die Tastatur eintippen. Format ist

        \(\operatorname{invBinomN}(P, p, k)\).

Ergebnis ist das kleinste \(n\), so dass

        \(P(X\leq k) \leq P\)

für eine binomialverteilt Zufallsgröße mit Parametern \(n\) und \(p\) ist.

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Mit Probieren komme ich hier nicht weiter:

Mit vertretbarem Aufwand geht das noch (hier mit Casio).

210 Schrauben sind zu wenig.

210 in der Formel durch 215 ersetzt: 0,965 ist etwas zu groß.

Bei der Verwendung von 214 ist das Ergebnis zu klein, also muss man doch mindestens 215 Schrauben testen.

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Danke, aber mein TR kann das nicht.

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Ich würde es persönlich auch mit einer Annäherung durch die Normalverteilung machen.

In der Tabelle der Standardnormalverteilung findest man den Wert 0,95 bei einer Eingangsgröße von 1,65.

0,95 ist also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße X einen Wert unterhalb von µ+1,65σ annimmt.

Wegen der Symmetrie ist 0,95 auch die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsgröße X einen Wert oberhalb von µ-1,65σ annimmt.

Die (binomialverteilte) Zufallsgröße X (Anzahl der korrekten Schrauben) hat den Erwartungswert 0,955n und die Standardabweichung
σ=\( \sqrt{0,045\cdot 0,955n } \).

Zu lösen ist die Gleichung

\(0,955n - 1,65 \sqrt{0,045\cdot 0,955n } =200 \)

Die Lösung ist 214,67, die nächstfolgende natürliche Zahl tatsächlich 215.

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Danke, daran hatte ich auch gedacht, es ist aber nicht das Verlangte.

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Danke, aber mein TR kann das nicht.

Ja, das ist ein Problem, das wir uns mt der Einführung solcher Taschenrechner eingehandelt haben, jeder macht es ein wenig anders. Zum Glück habe wir dafür gesorgt, dass sich zwei Firmen ein Monopol teilen, dann brauchen wir nicht alles zehn mal erklären.