Wie viele Personen müssen mindestens ausgewählt werden, damit sich darunter mit mindestens 95%-iger …

Question

Aufgabe:

Eine von 100 Personen besitzt eine rot-grün Sehschwäche.

Wie viele Personen müssen mindestens ausgewählt werden, damit sich darunter mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit wenigstens eine farbenblinde Person befindet?

Problem/Ansatz:

Ich nehme eine Poissonverteilung an. Mein λ ist 1, P(x)= 0,95, n ist gesucht.

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung: f(x)= \( \frac{λ^{x}*e^{-λ}}{x!} \)

Die Verteilungsfunktion : F(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infin}{f(x)} \)

Comments

P(x) = 1-P(x ≤ 1) = 1- \( \sum\limits_{x=0}^{1}{\frac{λ^{x}*e^{-λ}}{x!}} \) ≥ 0,95

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P(x) = 1-P(x ≤ 1) = 1- \( \sum\limits_{x=0}^{\infty}{\frac{λ^{x}*e^{-λ}}{x!}} \) ≥ 0,95

statt infty muss eine 1 stehen.

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass keine von \(n\) ausgewählten Personen eine Rot-Grün-Schwäche hat, ist \(\left(\frac{99}{100}\right)^n\). Das Gegenereignis dazu liefert die Wahrscheinlichkeit \(\left(1-\left(\frac{99}{100}\right)^n\right)\) , dass mindestens eine von den \(n\) Person eine Rot-Grün-Schwäche hat. Diese Wahrscheinlichkeit soll \(0,95\) sein:$$\left.1-\left(\frac{99}{100}\right)^n\stackrel!=0,95\quad\right|\quad-1$$$$\left.-\left(\frac{99}{100}\right)^n=-0,05\quad\right|\quad\cdot(-1)$$$$\left.\left(\frac{99}{100}\right)^n=0,05\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.n\ln\left(\frac{99}{100}\right)=\ln(0,05)\quad\right|\quad:\ln(0,99)$$$$n=\frac{\ln(0,05)}{\ln(0,99)}=298,07$$