Wie viele Schneebälle müssen mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% das Ziel …

Question

Aufgabe:

Beim illegalen Schneeballwerfen auf dem Schulhof treffen nur 2 von 10 Schneebällen ihr Ziel. Wie viele Schneebälle müssen mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% das Ziel mindestens einmal zu treffen?

Problem/Ansatz:

Ich muss das 1,96σ-Intervall betrachten, da dort ja 95% sind. Allerdings weiß ich nicht wie ich weiter verfahren muss, da wir ja kein μ und kein σ haben bzw. nur p=0,2 aber kein n. Hat jemand einen Tipp?

Answer 1

Aloha :)

Du willst hier aber sehr schweres Gerät benutzen, das brauchst du gar nicht.$$P(\text{\(\ge1\) Treffer})=1-p(\text{kein Treffer})\stackrel!\ge0,95$$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Einzel-Treffer ist $p=0,2$, für einen Nicht-Teffer $1-p=0,8$. Die Wahrscheinlichkeit für $n$ Nicht-Treffer ist $0,8^n$:

$$\left.1-0,8^n\ge0,95\quad\right|-1$$$$\left.-0,8^n\ge-0,05\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.0,8^n\le0,05\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.n\ln(0,8)\le\ln(0,05)\quad\right|\colon\ln(0,8)\text{, was negativ ist}$$$$n\ge\frac{\ln(0,05)}{\ln(0,8)}\approx13,4251$$

Die Schüler müssen also mindestens $n=14$-mal Werfen, um mit 95% Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu landen. Offensichtlich ist der Schulhof ein sehr sicheres Terrain ;)

Comments

Oh vielen danke das macht viel mehr Sinn. Ich soll jetzt einmal einen Graphen aufstellen, ausdem man das Ergebnis ablesen kann und einmal soll ich eine Tabelle aufstellen wo ich das Ergebnis ablesen kann. Habt ihr eine Idee wie ich das anstelle?

Answer 2

Ich muss das 1,96σ-Intervall betrachten, da dort ja 95% sind.

Nicht überall wo 95% steht muss man das 1,96σ-Intervall betrachten.

Beim illegalen Schneeballwerfen auf dem Schulhof treffen nur 2 von 10 Schneebällen ihr Ziel. Wie viele Schneebälle müssen mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% das Ziel mindestens einmal zu treffen?

1 - (1 - 2/10)ⁿ ≥ 0.95 --> n ≥ 14

Damit müssen mind. 14 Schneebälle geworfen werden.