Die Parallele zur x-Achse schneidet durch den Graphen von ft an der Stellte -2.(t/3)^1/2

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

4

Problem/Ansatz:

könnten Sie mir Aufgabe e) erklären? Ich habe einen Teil davon gemacht aber ich komme nicht weiter voran. Meine Lösung schicke ich Ihnen auch.

Text erkannt:

e) \( \Rightarrow \) Extremuerk (Tiefpunkt) berechnen \( f_{t}(x)=\frac{1}{3} x\left(x^{2}-t\right) \quad(1>0) \)
Erste Ableitung berechnan \( f^{\prime}(x)=x^{2}-\frac{t}{3} \)
\( \rightarrow \) Nullstellen der esten Ableitung berechnen \( \begin{array}{ll}f(x)=0: & 0=x^{2}-\frac{t}{3} \quad 1+\frac{t}{3} \\ \frac{t}{3} & =x^{2} \\ x & =\sqrt{\frac{t}{3}}\end{array} \)
\( \Rightarrow \) 24oite Ableitung berechrun und alle Nuurtellen de ersten Ableitung in die zweita Ableitung einsetzen:
\( f_{t}^{\prime \prime}(x)=2 \cdot x \quad f^{(y)}=2 \cdot \sqrt{\frac{t}{3}} \)
SNun mussen wir ubeprisen.ob \( y=-\frac{2}{9} t \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \) ist:
\( f_{t}\left(\sqrt{\frac{f}{3}}\right)=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{t}{3}} \cdot\left(\left(\sqrt{\frac{\pi}{3}}\right)^{2}-t\right)= \)
\( \left(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3} \cdot t}\right) \cdot\left(\frac{t}{3}-t\right)=\left(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{t}{3}}\right) \cdot\left(\frac{1}{3} t-t\right)= \)
\( \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{3}}\right) \cdot\left(-\frac{2}{3} t\right)=\left(\frac{\sqrt{t}}{3 \cdot \sqrt{3}}\right) \cdot\left(\frac{-2}{3} t\right) \)
\( =\frac{-\sqrt{t}}{3 \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} t=-\frac{2}{9} t \cdot \sqrt{\frac{t}{3}}=\frac{-2 t \cdot \sqrt{t}}{9 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( =\frac{-2 t \cdot \sqrt{t} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{-2 \cdot \sqrt{t 3}}{9 \cdot 3}=\frac{-2 \cdot t \sqrt{3 t}}{27} \)

Answer 1

Hallo

Du hast bei e ) alles richtig gemacht, nur ganz am Ende das ungünstig aufgeschrieben, obwohl du ja schon das richtige Ergebnis hattest das erste gelbe. Das zweite gelbe ist dasselbe, nur anders geschrieben,  es ist eben üblicher das \( \sqrt{t/3} \) stehen zu lassen statt die \( \sqrt{3} \) rauszuziehen

jetzt musst du nur noch die Gerade y=-2/9* \( \sqrt{t/3} \) mit dem Graph schneiden, und den 2 ten Schnittpunkt bestimmen also

-2/9* \( \sqrt{t/3} \) =1/3x^3-1/3x*t, das ist eine Gleichung dritten Grades, aber eine Lösung x= \( \sqrt{t/3} \) kennst du ja schon, kannst also durch x- \( \sqrt{t/3} \) dividieren. oder da du ja nur den Schnittpunkt bestätigen musst ihn einsetzen

Gruß lul

Answer 2

e)

Beachte das du hier kein Extrempunkt berechnen sollst, sondern nur nachweisen sollst das der angegebene Punkt der Tiefpunkt ist.

Zeige das gilt:

f(√(t/3)) = - 2/9·t·√(t/3)
f'(√(t/3)) = 0
f''(√(t/3)) = 2·√(t/3) > 0

f(-2·√(t/3)) = - 2/9·t·√(t/3)