Wie viele Personen mindestens fragen, um mit mindestens 95%, mindestens 4

Question

Aufgabe:

Es ist bekannt, dass der Anteil der Katzenbesitzer mit mehr als einer Katze innerhalb der Gruppe aller Katzenbesitzer bei 17% liegt.
Berechnen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Katzenbesitzer man mindestens befragen muss. um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% auf mindestens vier Katzenbesitzer mit mehr als einer Katze zu treffen.

Problem/Ansatz:

Wenn nach einem Katzenbesitzer gesucht worden wäre, wäre es kein Problem. Aber bei vier gesuchten komme ich nicht weiter. Leider suchen alle Aufgaben in meinem Buch auch immer nur nach einem Treffer / einer Person.

Answer 1

Näherung über die Normalverteilung

n ist gesucht
p = 0.17
μ = 0.17·n
σ = √(0.17·0.83·n) = √(0.1411·n)

P(X ≥ 4) = Φ((3.5 - 0.17·n)/√(0.1411·n)) = 0.95
(3.5 - 0.17·n)/√(0.1411·n) = 1.645 --> n = 44.96

Kontrollrechnung mit der Binomialverteilung

P(X ≥ 4 | n = 45) = 0.9603
P(X ≥ 4 | n = 44) = 0.9550
P(X ≥ 4 | n = 43) = 0.9491

Man müsste also mind. 44 Leute befragen.

Answer 2

Der Ansatz ist der gleiche. Bestimme \(n\) so, dass \(P(X\geq 4)\geq 0{,}95\). Das muss man mit Hilfe einer Tabelle oder Ausprobieren im Taschenrechner lösen.

Answer 3

Das geht algebraisch nicht.

Auf dieser Seite ist ein Tool für die Binomialverteilung.

Gib ein: p= 0,17, k= 4 und probiere die n durch.

Lösung: n= ...