Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Zug um mindestens eine Minute verspätet.

Question

Aufgabe:

Der Zug der Linie 1 kommt an dem Bahnhof im Mittel mit einer Verspätung von 2 Minuten und einer Standardabweichung von 4 Minuten an. Wir nehmen an, dass die Verspätungszeit normalverteilt ist.

(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Zug um mindestens eine Minute verspätet.

(b) Der Zug fährt den Bahnhof am Tag 18 mal an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es dabei zu maximal 15 Verspätungen kommt. Welche zusätzliche Annahme wird benötigt um dies zu berechnen?

(c) Die Linie 2 kommt planmäßig genau eine Minute nach der Linie 1 an. Die Linie 2 hat im Mittel 3 Minuten Verspätung bei einer Standardabweichung von 6 Minuten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Linie 2 vor der Linie 1 am Bahnhof eintrifft. Nehmen Sie an, dass die Ankunftszeiten der beiden Linien voneinander unabhängig sind.

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe zur Normalverteilung. Da ich keine Musterlösung habe beziehe ich mich nur auf die Ansätze/ gesuchte Wahrscheinlichkeit:
a) X1... Verspätung des Zuges der Linie 1 in min.  gesucht: P(X1≥1) = 1-P(X1=0) = 1-p0

b) Annahme das Verspätungen unabhängig voneinander sind. Y...Zug der Linie 1 hat eine Verspätung
Y~Bin(n,p) mit n=18 und p= Wahrscheinlichkeit aus a). gesucht: P(Y≤15) = 1-(p16 + p17 + p18)

c) Hier müsste ja gelten das Zug 2 keine Verspätung hat und Zug 1 mindestens zwei Minuten Verspätung. X2... Verspätung von Zug 2. gesucht: P(X2=0 ∩ X1≥2) = P(X2=0) * P(X1≥2)

Bin mir ziemlich unsicher bei meinen Ansätzen. Würdet ire die Aufgabe anders lösen?

Answer 1

Ich würde es wie folgt lösen

a)
P(X ≥ 1) = 1 - Φ((1 - 2)/4) = 0.5987

b)
P(X ≥ 0) = 1 - Φ((0 - 2)/4) = 0.6915
P(Z ≤ 15) = ∑ (x = 0 bis 15) ((18 über x)·0.6915^x·(1 - 0.6915)^(18 - x)) = 0.9484

c)
P(Y ≤ X) = P(Y - X ≤ 0) = Φ((0 - (3 - 2))/√(4^2 + 6^2)) = 0.4449

Comments

a) müsste es nicht P(X ≥ 1) = 1 - Φ((0 - 2)/4) sein? da P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1)

b) ich komme mit meiner Methode auf ein Ähnliches Ergebnis von 0.949. Aber deine ist etwas eleganter

c) die Aufgabe so anzugehen scheint deutlich besser zu sein

Danke

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P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1)

Achtung. Du denkst hier in einer Binomialverteilung wo 0 < 1 ist. Wir sind aber in der Normalverteilung wo 0.999999999999 auch schon < 1 gilt.

In der Normalverteilung gilt

P(X = 1) = 0

Und

P(X < 1) = P(X ≤ 1)

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Ah stimmt. Habe irgendwie vergessen das die Normalverteilung nicht diskret ist...

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Ich habe die gleiche Frage in meiner Übung nur sind die Zeiten anders

Für die a) gilt die Standardisierungsformel

Y = \( \frac{X-μ}{σ} \)

daher muss ich wegen "mindestens" 1-(Φ(Y)) rechnen?

X=1, da ich min. eine Minute Verspätung suche?

In meinem Fall sind es max. 7 Minuten. Muss ich dann nur P(X≤7) = (Φ(\( \frac{7-2}{4} \))) = Φ(1,25) = 0,8944

Bei der b) muss ich die Binomialverteilung nehmen und für x = 0 bis 15 aufsummieren?

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Ja genau. Das hast du richtig verstanden.