3M-Aufgabe: mindestens mindestens mindestens und die Lernvideos

Question

Aufgabe:

22% aller Schüler lernen mit Videos. Wie viele muss ich mindestens fragen, damit mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einer mit Videos lernt ?

Problem/Ansatz:

Die 3 M aufgaben habe ich Verstanden im allgemeinen. Aber was ist wenn die Aufgabe lautet:

22% aller Schüler lernen mit Videos. Wie viele muss ich mindestens fragen, damit mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens ZWEI mit Videos lernen?

Kann man das trotzdem genauso rechnen?

Answer 1

Hier kannst du es mit Probieren rauskriegen:

P(X>=2):

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm

n= 20

Answer 2

Dann kannst du das über probieren lösen

P(X ≥ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.78^n - n·0.22·0.78^(n - 1) ≥ 0.95 → n ≥ 20

Oder man nähert das über die Normalverteilung. Das ist hier aber aufwendiger als ein probieren.

Vermutlich weißt du ja vorher schon das du mind. 13 fragen müsstest damit du mind. einen Schüler bekommst. Um mind. zwei zu bekommen muss man natürlich mehr fragen. Also schaut man mal wie das bei 26 aussieht. Da die Wahrscheinlichkeit dann schon zu hoch ist probiert man Werte dazwischen.

Comments

Hier noch über eine Näherung mittels Normalverteilung.

1 - NORMAL((1.5 - n·0.22)/√(n·0.22·0.78)) = 0.95

NORMAL((1.5 - n·0.22)/√(n·0.22·0.78)) = 0.05

(1.5 - n·0.22)/√(n·0.22·0.78) = -1.645

(1.5 - n·0.22) = -1.645·√(n·0.22·0.78)

0.0484·n^2 - 0.66·n + 2.25 = 0.4643538899·n

0.0484·n^2 - 1.124353889·n + 2.25 = 0 --> n = 21.01872944 oder n = 2.211722807

Jetzt sollte man also die Werte um 21 herum probieren. Also 21, 20 und 19 und dann hat man auch schon den gesuchten Wert.

Answer 3

mit mindestens 95% mindestens einer mit Videos lernt

Das heißt es soll

        \(P(X \geq 1 ) \geq 0.95\)

sein.

Im \(n\)-stufigen Baumdiagramm besteht das Gegenereignis (\(X=0\)) dieses Ereignisses aus einem einzigen Pfad. Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(P(X=0) = (1-p)^n\), so dass letztendlich nur die Ungleichung

        \((1-p)^n \leq 0,05\)

gelöst werden muss. Das geht mit dem Logarithmus.

mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit mindestens ZWEI mit Videos lernen

Das heißt es soll

        \(P(X \geq 2 ) \geq 0.95\)

sein.

Im \(n\)-stufigen Baumdiagramm besteht das Gegenereignis (\(X\leq 1\)) nicht mehr aus einem einzigen Pfad, sondern aus \(n+1\) Pfaden.

Auch wenn du es über die Bernoulli-Formel löst, bekommst du mit

        \((1-p)^n + n\cdot p\cdot (1-p)^{n-1} \leq 0,05\)

eine Ungleichung, die man nicht mehr einfach so nach \(n\) umstellen kann.

Der Lösungsweg besteht entweder aus ausprobieren oder geschicktem Technologieeinsatz.

Answer 4

Ausprobieren ergibt:

\(\displaystyle \sum \limits_{k=2}^{19}\binom{\red{19}}{k}\left(\frac{22}{100}\right)^{k}\left(1-\frac{22}{100}\right)^{19-k} \approx 94,3 \, \% \)

\(\displaystyle \sum \limits_{k=2}^{20}\binom{\red{20}}{k}\left(\frac{22}{100}\right)^{k}\left(1-\frac{22}{100}\right)^{20-k} \approx 95,4 \, \% \)

Comments

Mit zunehmender Anzahl Probanden nimmt die Wahrscheinlichkeit für "k mindestens 2" zu:

(Bei der letzten Zeile meines Inputs bedeutet 2 die untere Grenze von k, und 4 bedeutet die Anzahl Nachkommastellen.)