Kompakte Menge Beispiel

Question

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Ich versuche gerade ein Beispiel für folgende Aussage zu konstruieren:

Sei M ein metrischer Raum. Ist M kompakt und

$$A \subset M$$ abgeschlossen, dann ist A kompakt.

Mein Beispiel:

Betrachte

$$ [0,4] \subset \mathbb{R} $$ als metrischen Raum.

Wähle A als $$ [1,2] \subset [0,4] $$.

Mein Problem jetzt; ich sehe nicht, dass [1,2] abgeschlossen in [0,4] ist, denn

$$ [0,4] \setminus [1,2]= [0,1)\cup (1,2) \cup (2,4] $$ ist nicht offen, da bspws. 1 kein innerer Punkt von M ist oder irre ich mich?

Kann mir jemand sagen wo da mein Denkfehler liegt?

LG

Comments

\([0,4] \setminus [1,2]\neq [0,1)\cup (1,2) \cup (2,4]\)

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Was habe ich da falsch gemacht ?

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[0,4]\[1,2]=[0,1)∪(2,4]

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oh... natürlich!

Aber diese menge ist dennoch nicht offen, wie kann ich dann sehen, dass [1,2] abg. in [0,4] ist ?

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Kannst du eine Überdeckung von [1,2] angeben?

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Es würde doch einfach (0,4) gehen, oder?

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Ich dachte eher an \(\mathcal{U}=\{U_\varepsilon (q) : q\in [1,2]\cap \mathbb{Q}\}\).

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Sorry jetzt bin ich verwirrt, die offene Überdeckung müsste doch jedes Element von [1,2] enthalten, was ist dann bspsws. mit $$ \sqrt {2} $$ ?

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Wir wählen immer \(\varepsilon >0\). Das ist eine Kollektion von Überdeckungsmengen und keine Punkte. Umgebungen um jede reelle Zahl in [1,2] sind sinnfrei.

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Ah ok ja klar! Das passt , danke dir! Aber wie kann ich sehen, dass [0,4] \ [1,2} offen ist ? Oder geht das in diesem Fall einfach nicht ?

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Also ich glaube ich weiß jetzt was mich stört: Um zu zeigen, dass

$$ [0,4] \setminus [1,2]$$ offen in$$ M =[0,4]$$ ist, müsste ich jetzt zeigen, dass die Menge

$$ [0,4] \setminus [1,2] = [0,1) \cup [2,4] $$

offen in M ist, dass also jeder Punkt davon ein innerer Punkt ist, jetzt weiß ich aber nicht, wie bspsweise die 1/2 - Umgebung des Punktes 0 aussieht, denn die Menge M hört ja "bei null auf", ganz konkret gefragt: ist der Punkt 0 ein innerer Punkt von $$[0,1) \cup [2,4] $$ ?

LG

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[1,2] is abgeschlossen in [0,4], wenn [0,4]\[1,2]=[0,1)∪(2,4] offen ist.

[0,1) ist eine offene Teilmenge von [0,4], da [0,1)=(-∞, 1)∩[0,4]] und (-∞, 1) offen in ℝ.

Für (2,4] analog.

Answer 1

Wähle eine offene Überdeckung \(\mathcal{U}=\{U_\lambda\}_{\lambda\in I}\) von \(A\). Wenn \(A\) abgeschlossen ist, so ist \(M\setminus A\) offen und \(M\setminus A\) und \(\mathcal{U}\) bilden zusammen eine Überdeckung von \(M\). Aufgrund der Kompaktheit von \(M\) lässt sich diese zu einer endlichen Teilüberdeckung \(\{M\setminus A, U_{\lambda_1}, ..., U_{\lambda_r}\}\) reduzieren. Somt bildet \(\{U_{\lambda_1}, ..., U_{\lambda_r}\}\) eine endliche Teilüberdeckung von \(A\).

Comments

Okay vielen Dank! Aber wie kann ich direkt aus der Def. sehen, dass [1,2] abgeschlossen in [0,4] ist?LG

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Ah jetzt verstehe ich es, danke! Noch eine letzte Frage dazu: die Definition, dass jeder Punkt einer offenen Menge ein innerer Punkt ist, kann ich hier nicht anwenden oder?

So existiert doch bspsweise kein

$$ ε \text {  , so dass } U_ε (0) \subset [0,4] \setminus[1,2] $$ oder wie mache ich das ?

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[0,4]\[1,2]=[0,1)∪(2,4]

Eine weitere Sichtweise, um zu zeigen, dass [0,1) offen in [0,4] ist. Wähle x∈[0,1) und setze ε:=1-x. Dann ist \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap[0,1)\subset[0,1)\).

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Hm, aber wie kann die 1- umgebung von 0 enthalten sein?