Beweis, dass eine kompakte Menge beschränkt ist

Question

Aufgabe:

Ich möchte beweisen, dass eine kompakte Menge beschränkt ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, dass ich eine kompakte Menge M habe, in dem der Grenzwert einer Folge in der Menge M liegt.

Nun bin ich aber schon am Ende meiner Überlegung und weiß nicht wie ich damit weiter komme. Ein anderer Ansatz fällt mir leider auch nicht ein.

Ist mein Ansatz korrekt?, Wenn ja, wie gehe ich dann weiter vor und falls ich damit schon falsch liege, was wäre ein geeigneter Ansatz?

Schonmal vielen Dank im Voraus :)

Comments

Hallo,

die Eigenschaft, dass eine konvergente Folge in M einen Grenzwert hat, der ebenfalls in M liegt, nennt man "Abgeschlossenheit" von M. (Eine kompakte Menge ist auch abgeschlossen.)

Es gibt verschiedene Definitionen für "kompakt". Welche habt Ihr festgelegt?

Gruß

Answer 1

Da hier Beschränktheit eine Rolle spielt, kann man annehmen,

dass \(M\) eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes \((X,d)\)

sein soll. Sei nun \(a\in X\) beliebig, aber fest. Dann ist

\(f:M\rightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=d(x,a)\) wegen

\(|f(y)-f(x)|=|d(y,a)-d(x,a)|\leq d(x,y)\) stetig.

Eine stetige Funktion nimmt auf einem Kompaktum ihr

Maximum an, hier etwa \(R\). Dann liegt \(M\) ganz in der Kugel

\(\bar{B}_R(a)\), ist also beschrtänkt.