Zeigen, dass eine kompakte Menge unterhalbstetig ist, wenn

Question

Aufgabe: Zeigen Sie: Sei K eine kompakte Menge und

f : K → ℝ unterhalbstetig, so existiert x₀∈K mit
f(x₀) = inf{f(x): x∈K}

Problem/Ansatz: Ich weiß, dass eine Funktion f: D → R mit D⊂ℂ  unterhalbstetig heißt, wenn gilt, dass
 ∀(x_n)_n ⊂ D mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) x_n = x₀ ∈ D ⇒ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) f(x_n) ≥ f(x₀) ist. Allerdings hab ich trotzdem keinen Plan, wie ich das jetzt genau zeige