Hallo ihr Lieben, ich habe hier folgende Aufgabe:
Seien \( \varphi_{1}, \varphi_{2}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig mit \( \varphi_{1}(x) \leq \varphi_{2}(x) \) für alle \( x \in[a, b] \). Zu zeigen:
\(F_{1}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \in[a, b], \varphi_{1}(x) \leq y \leq \varphi_{2}(x)\right\} \)
und
\(F_{2}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y \in[a, b], \varphi_{1}(y) \leq x \leq \varphi_{2}(y)\right\}\)
messbare und kompakte Mengen in \( \mathbb{R}^{2} \) sind.
Problem/Ansatz:
Ich bräuchte ein wenig Hilfe bei der Aufgabe. Mal zur ersten Menge:
Da habe ich schon Probleme bei der Kompaktheit. Dazu muss ich zeigen, dass \(F_{1} \) beschränkt und abgeschlossen ist.
Zur Beschränktheit hätte ich gesagt, da \(x \in [a,b] \) ist, ist schonmal die x-Koordinate vom Tupel (x,y) beschränkt. Da stetige Funktionen Minimum und Maximum annehmen, ist y auch durch \(-\infty < \varphi_1<y<\varphi_2 < \infty \) beschränkt, also auch die Menge \(F_{1} \).
Bei der Abgeschlossenheit weiß ich um ehrlich zu sein nicht, wie das im \(\mathbb{R}^2 \) funktioniert
Die Menge \(F_{1} \) heißt messbar, wenn das Integral \(\int \limits_{F_1}^{}1dF_1\) existiert. Mit einer Folgerung aus dem Satz von Fubini weiß ich, dass \(\int \limits_{F_1}^{}f(x,y)dF_1=\int \limits_{a}^{b}\int \limits_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dxdy\) ist. Jetzt habe ich für die Messbarkeit ja \(f:=1 \) gegeben und müsste ausrechnen: \( \int \limits_{F_1}^{}1 dF_1= \int \limits_{a}^{b}\int \limits_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}1dxdy=\int \limits_{a}^{b}\varphi_1(x)-\varphi_2(x)dy= \left[y(\varphi_1(x)-\varphi_2(x))\right]_{a}^{b}\).
Zum einen bin ich mir nicht ganz sicher, ob das überhaupt so stimmt, zum anderen ist mir auch unklar, was ich jetzt genau mit diesem Ausdruck anfangen soll. Wenn ich nun die Grenzen a und b eingesetzt habe, heißt das dann, dass das Integral \(\int \limits_{F_1}^{}f(x,y)dF_1 \) existiert?
Wäre ganz lieb, wenn da jemand helfen könnte.
