Abgeschlossenheit. kompakt, offene Menge

Question

Aufgabe: Betrachten Sie die Mengen, sind sie abgeschlossen, kompakt, offen in IR. Begründen Sie!

Problem/Ansatz: Also ich verstehe die Mengen an sich nicht, also für die erste bedeutet das: alle n die in diesem Intervall liegen, sind in der Menge, also ist die erste beschränkt durch Intervall, somit nicht offen und dann fehlt ja nur noch die Abgeschlossenheit: das heißt wenn für jede konvergente Folge in A auch ihr Grenzwert in A liegt, aber wie zeigt man das?

Text erkannt:

\( \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(-\frac{1}{\exp (n)},\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right], \quad \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\left(2 n-\frac{1}{2}, 2 n+\frac{1}{2}\right) \)

Answer 1

\( \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(-\frac{1}{\exp (n)},\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]\)

Das ist die Schnittmenge aller halboffenen Intervalle \((a,b]\), bei denen \(a = -\frac{1}{\exp n}\) und \(b = \left(\frac{1}{2}\right)^n\) für ein \(n\in \mathbb{N}\) ist.

Comments

Okay, macht es damit Sinn, dass sie beschränkt ist, wegen dem Intervall und wie zeigt man das mit dem Grenzwert für die Abgeschlossenheit

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Gib einen einfacheren Ausdruck für \( \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(-\frac{1}{\exp (n)},\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]\) an.

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Naja (1/2)^n kann ja maximal eins sein, weil es dann immer kleiner wird und -1/exp(n) ist ja -1/e

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Also würde sagen, dass die Menge abgeschlossen und kompakt ist

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Naja (1/2)ⁿ kann ja maximal eins sein,

Weil (1/2)ⁿ die rechte Intervallgrenze ist und der Durchschnitt gebildet wird, geht es nicht um das Supremum dieses Ausdrucks, sondern um das Infimum.

und -1/exp(n) ist ja -1/e

Nein, -1/exp(n) ist -1/eⁿ. Weil -1/eⁿ die linke Intervallgrenze ist und der Durchschnitt gebildet wird, geht es um das Supremum dieses Ausdrucks.

dass die Menge abgeschlossen und kompakt ist

Das ist richtig. Die Begründung ist aber noch verbesserungsbedürftig.

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Also meine Begründung für Abgeschlossen wäre: Sei nach Intervall gilt: -1/exp(n) < (1/2)^n

Betrachte konvergente Folge in Menge mit a(n), so gilt  -1/exp(n) <  a(n) <= (1/2)^n

Betrachte Grenzwert also lim (n —> unendlich), also 0 < a(n) <= 0. Also Grenzwert von a(n) = 0. Somit Grenzwert in Menge, da 0 im Intervall ist.

Beschränktheit:

Für alle n aus IN gilt: (1/2)^n > 0, somit ist die Menge nach unten beschränkt und somit beschränkt.

Das wäre meine Idee

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Es gilt

        \(-\frac{1}{\exp(n)} < 0\)

für alle \(n\in \mathbb{N}\) und

        \(\lim\limits_{n\to\infty}-\frac{1}{\exp(n)}=0\).

Die linke Intervallgrenze konvergiert also von unten gegen \(0\).

Es gilt

        \(\left(\frac{1}{2}\right)^n > 0\)

für alle \(n\in \mathbb{N}\) und

        \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=0\).

Die rechte Intervallgrenze konvergiert also von oben gegen \(0\).

Somit ist \( \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(-\frac{1}{\exp (n)},\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right] = \{0\}\).

Die Menge \(\{0\}\) ist kompakt und deshalb auch abgeschlossen.

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Okay, erstmal vielen Dank, sieht sauberer aus als bei mir.

Bei der zweiten Menge hätte ich gesagt:

Text erkannt:\( \bigcap_{n \in \mathbb{N}}\left(-\frac{1}{\exp (n)},\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right], \quad \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\left(2 n-\frac{1}{2}, 2 n+\frac{1}{2}\right) \)

Sie ist abgeschlossen, da man je auf ein Grenzwert mit +unendlich kommt, jedoch deshalb nicht beschränkt

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Die zweite Menge ist eine Vereinigung von offenen Intervallen. Bestimme beispielhaft die Intervalle für \(n=1\), \(n=2\) und \(n=3\). Was fällt dir auf?

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Es wird immer um eins erhöht, also bei n =1, (3/2, 5/2) bei n = 2 (7/2,9/2) usw.

Menge ist nicht abgeschlossen, da sie nicht alle ihre Grenzwerte enthält. Zum Beispiel ist der Grenzwert 1 nicht in der Menge enthalten, da kein Intervall der Form (2n-1/2, 2n+ 1/2) enthält.

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Ich habe nochmal überlegt:

(2n -1/2, 2n + 1/2) ist ein offenes Intervall. Betrachte Folge (2n), n aus IN. Also limes 2n —> unendlich, aber unendlich nicht in Menge, also nicht abgeschlossen