Hallo,
setze \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y)\mapsto x^2+2xy\). Dann ist \(f^{-1}(\{0\})=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+2 x y=0\right\}\). Weiter ist \(\{0\}\) abgeschlossen im \(\mathbb{R}^2\) und wir wissen, dass Urbilder abgeschlossener Menge unter einer stetigen Funktion abgeschlossen sind. \(f\) ist als Polynomfunktion stetig.
Es gibt nun aber im \(\mathbb{R}^2\) auch Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, namentlich der \(\mathbb{R}^2\) selbst und \(\emptyset\). Allerdings ist \(\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+2 x y=0\right\}\) nicht die leere Menge, denn \((0,0)\) ist ein Element dieser Menge (und damit ist eben diese Menge nicht leer), nicht aber \((1,0)\) und damit ist die Menge nicht der \(\mathbb{R}^2\)
