Geben sie ein Beispiel an für f mit folgenden Eigenschaften

Question

Aufgabe: Geben sie ein Beispiel an für f mit folgenden Eigenschaften: f:[a, b] nach R

f ist stetig und die Menge aller x ∈ [a, b], an denen die Funktion f ihr Maximum
erreicht, ist abzählbar unendlich.

Problem/Ansatz: Ich komme nicht weiter. Ich denke an die Dichtheit von Q in R aber das hilft mir ja auch irgendwie nicht weiter

Comments

Grüße von der Uni Münster :D

Answer 1

Es reicht aus, so eine Funktion auf dem Intervall \([0,1]\) anzugeben, denn ein beliebiges Intervall \([a,b]\) kann durch \(x\mapsto \frac{x-a}{b-a}\) stetig auf \([0,1]\) transformiert werden.

Wir betrachten also im Weiteren nur \([0,1]\).

Definiere nun

$$f(x) = \left\{\begin{array}{ccl} \left(x-\frac 1{n+1}\right) \left(x-\frac 1n\right)& \text{für} & x\in \left[\frac 1{n+1}, \frac 1n\right], n\in\mathbb N \\ 0  & \text{für} &x= 0\end{array} \right.$$

Die ersten 4 Graphenstücke für \(n=1,\ldots , 4\) siehst du hier.

Das sind aneinandergeklebte Parabelbögen, die immer flacher werden.

Comments

danke, der erste punkt war sehr hilfreich

Answer 2

Betrachte mal x*sin(1/x) mit 0 für x=0

FALSCH! siehe Kommentare.

Auf [0,1] und modifiziere es etwas zu

\(   f(x)= \frac{x-a}{b-a} \cdot \sin( \frac{b-a}{x-a} )\)

Sieht z.B. für das Intervall [2;5] so aus ~plot~ (x-2)/(5-2)*sin( (5-2)/(x-2) ) ~plot~

Comments

An welchen Stellen erreicht denn diese Funktion ihr Maximum?

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Oha, hab da wohl eher an relative Maxima gedacht.