Teilbarkeit durch 48 von Folge (p^4 -1) für p prim und p ≥5.

Question

Moin!

Ich hätte da folgende Frage, an der mir (wie so häufig :D) der Ansatz fehlt.

Gegeben ist die Folge $$p^4-1;p \geq 5 ; \text{p Primzahl}$$ Ich vermute, dass $$p^4-1$$ immer durch 48 teilbar ist. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!  

mfg legendär

Comments

Kommst du mit der Zerlegung

p^4 -1 = (p^2 + 1)(p^2 - 1) = (p^2+1)(p-1)(p+1)

schon zu deiner Behauptung? Bis jetzt hat man 3 verschiedene gerade Faktoren. von denen sich 2 lediglich um 2 unterscheiden.

Möglicherweise kannst du einen Induktionsbeweis p -> p+2 führen.

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Nein, nicht ganz. Da alle drei Faktoren gerade sind, ist a_n (=p^4 - 1) schonmal durch 8 teilbar...
8*6 = 48. Vermutlich ist p^2 + 1 teilbar durch 6... Ist das ein richtiger Gedankenweg oder weit am Ziel vorbei?

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Stimmt das nur für Primzahlen oder für beliebige ungerade p?

a_p (=p⁴ - 1)

Induktionsbeweis ginge ja nur, mit einem Schritt von p --> p+2.

2 gerade Zahlen nacheinander: da ist eine sogar durch 4 teilbar. Daher (p+1)(p-1) durch 8 teilbar. Dann noch (p^2 + 1) gerade. Also ist die Zahl schon mal sicher durch 16 teilbar. Jetzt müsste man nur noch begründen, warum einer der 3 Faktoren durch 3 teilbar sein muss. Bei 3 aufeinanderfolgenden geraden Zahlen wäre das klar. Aber so wie hier?

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Hatte eben den Induktionsvorschlag überlesen^^ Ich zeig mal meine Rechnung:

I.A.: p=5: a_1 = 624 ; 48 | 624

I.V.: 48 | (p^2+1)(p-1)(p+1)

I.S.: (p+2)^4-1 = (p^2 + 4p + 5)(p+1)(p+2) = ((p^2 - 1) + 4p + 6)(p+1)(p+2)
Jetzt müsste ich nur irgendwie noch (p^2 - 1) als Faktor in den Term bringen..?

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Sehe gerade, dass das sicher nicht bei allen ungeraden Zahlen stimmt: Es kommt 80 als Wert vor.

(2n+1)^4 -1 in WolframAlpha eingegeben:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282n%2B1%29%5E4+-1

Darum kann die vorgeschlagene Induktion gar nicht klappen.

Induktion

vielleicht doppelt verankern und dann Schritt

von p --> p+6
und von p+2→p+8

Da jede 3. ungerade Zahl durch 3 teilbar ist und somit keine Primzahl.

Für p≥5 gilt:

p = 6n ± 1

Answer 1

die Aussage lässt sich aufgrund der Zerlegung

\( p^4 - 1 = ( p^2 +1 ) (p^2-1)  \)

verstehen.

Für das existierende \( q \) mit \( p = 2q +1 \) gilt

\( p^2 + 1 = 4 (q^2 + q) + 2 \),

\( p^2 - 1 = 4 (q^2 + q) \),

Schließlich ist

\( (p^2 +1)(p^2 -1) = 16 (q^2 + q)^2 + 8 (q^2 + q) \)

oder mit \( q^2 + q = 2 z \), denn \( q^2 + q\) ist immer gerade, gilt

\( (p^2 +1)(p^2 -1) = 16 (2z)^2 + 8 (2z) = 16 ( 4 z^2 + z) \).

Das heißt, \((p^2 +1)(p^2 -1) \) ist durch \( 16 \) teilbar.

Gleichzeitig haben wir mit \( ( p^2 +1 ) (p^2-1) \) das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger von \( p^2 \). Da für eine Zahl, die selbst nicht durch \( 3 \) teilbar ist, immer entweder ihr Vorgänger oder ihr Nachfolger durch \( 3 \) teilbar ist, folgt die Behauptung:

\( p^4 - 1 \) ist durch \( 3 \cdot 16 = 48 \) teilbar.

Für die Aussage müssen wir also voraussetzen: \( p \) ist weder durch \( 2 \) noch durch \( 3 \) teilbar. \( p \) muss keine Primzahl sein.

MfG

Mister

Comments

 das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger von p^2. Da für eine Zahl p^2 immer entweder ihr Vorgänger oder ihr Nachfolger durch 3 teilbar ist.

Das stimmt tatsächlich, weil p^2 selbst ja nicht durch 3 teilbar ist.

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PS: Findet den Fehler: \( p = 9 \) erfüllt die Voraussetzung, aber \( 9^4 - 1 \) ist nicht durch 48 teilbar.

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Lu hat den Fehler gefunden: Die Zahl p darf weder durch 2 noch durch 3 teilbar sein. Dies gilt für alle Primzahlen, aber darüber hinaus auch zum Beispiel für 25, 49, 55, 85 und weitere ("weitere" = unendlich viele). Antwort editet.

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Aber 9 ist keine Primahl. In der Aufgabe jedoch geht es ausschließlich um Primzahlen größer 3.Vielen Dank für die Antwort Mister!

mfg legendär

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Bitte. Die Aussage gilt für alle Zahlen, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. Es handelt sich daher nicht um eine exklusive Primzahleigenschaft. 9 ist durch 3 teilbar.

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Ja, stimmt auch.

Answer 2

Für p = 6n ± 1 ergibt sich tatsächlich der Faktor 3. (versteckt dort in der 24)

Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%286n-1%29%5E4+-1

Du kannst also einfach ausmultiplizieren und dann 3 ausklammern, nachdem wir den Faktor 16 ja schon haben.