Konstruiere aus der KNF eine DNF.

Question

Aufgabe:

Konstruiere aus der KNF eine DNF.

KNF: (A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A) ∧ (¬B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ C ∨ B)

Meine Idee:

(A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A) ∧ (¬B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ C ∨ B)

≡ A ∧ (¬B ∨ ¬C)  ∧ (¬A ∨ C ∨ B) (Distributivgesetz)

≡  (A ∧ ¬A) ∨ (A ∧ C) ∨ (A ∧ B) ∧ (¬B ∨ ¬C) (Distributivgesetz)

≡ (A ∧ C) ∨ ((A ∧ B) ∧ ¬B) ∨ (A ∧ B) ∧ ¬C) (Distributivgesetz)

≡ (A ∧ C) ∨ A ∨ (A ∧ B ∧ ¬C)

Stimmt meine Idee oder ist sie falsch?

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe gerne \(\cdot\) statt \(\land\) und \(+\) statt \(\lor\), um mit Punkt-vor-Strich viele Klammern zu sparen:

$$\phantom{=}\;(A ∨ B) ∧ (¬B ∨ A) ∧ (¬B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ C ∨ B)$$$$=(A+B)(\overline B+A)(\overline B+\overline C)(\overline A+C+B)$$$$=(A\overline B+\underbrace{B\overline B}_{=0}+\underbrace{AA}_{=A}+BA)(\overline B\,\overline A+\overline C\,\overline A+\overline BC+\underbrace{\overline CC}_{=0}+\underbrace{\overline BB}_{=0}+\overline CB)$$$$=(A\overline B+A+BA)(\overline B\,\overline A+\overline C\,\overline A+\overline BC+\overline CB)$$$$=A\underbrace{(\overline B+1+B)}_{=1}(\overline B\,\overline A+\overline C\,\overline A+\overline BC+\overline CB)$$$$=A(\overline B\,\overline A+\overline C\,\overline A+\overline BC+\overline CB)$$$$=\overline B\,\underbrace{A\overline A}_{=0}+\overline C\,\underbrace{A\overline A}_{=0}+A\overline BC+A\overline CB$$$$=(A\land\lnot B\land C)\lor(A\land B\land\lnot C)$$