Zeige, dass die Gruppe ℤ/6ℤ isomorph ist zur Gruppe ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Gruppe ℤ/6ℤ isomorph ist zur Gruppe ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktion φ wie folgt definiert:

φ: ℤ/6ℤ → ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ,

[0] ↦ ([0], [0])

[1] ↦ ([1], [1])

[2] ↦ ([0], [2])

[3] ↦ ([1], [0])

[4] ↦ ([0], [1])

[5] ↦ ([1], [2])

Nun muss ich zeigen, dass φ(a+b) = φ(a) + φ(b) gilt für alle a,b ∈ ℤ/6ℤ. Wie kann ich beweisen, dass φ(a+b) = φ(a) + φ(b) für alle a,b ∈ ℤ/6ℤ gilt, ohne alle Kombinationen durchzugehen?

Comments

Ich würde die Abbildung anders definieren.

Nimm \(\varphi([z]_6) := ([z]_2,[z]_3) \), d.h. Restklasse von z mod 6 wird auf das Tupel (Restklasse z mod 2, Restklasse z mod 3) abgebildet. Jetzt musst du nur zeigen, dass diese Definition wohldefiniert ist, in diesem Fall musst du also die Unabhängigkeit vom Vertreter z nachrechnen.

Mit dieser Definition ist der Rest dann schnell gezeigt:

$$\varphi([a+b]_6)=([a+b]_2,[a+b]_3)=([a]_2+[b]_2,[a]_3+[b]_3) = ... $$

Answer 1

Zeige, dass ℤ/6ℤ durch [1] erzeugt wird und ℤ/2ℤ × ℤ/3ℤ durch ([1], [1]).

Comments

Könnte man hierzu eine genauere Erläuterung haben? Vielen Dank im Voraus.