Wie komme ich dann zu dem Produkt?

Question

Aufgabe: Ein Matrix 33∈ℝ als Produkt von Elementarmatrizen schreiben.

Problem/Ansatz:Wenn ich so eine Matrizen mit dem Gauss Algorithmus umformen, dann habe ich eine Elementarmatrize. Wie komme ich dann zu dem Produkt?

Answer 1

Wenn ich so eine Matrizen mit dem Gauss Algorithmus umforme

Jede dieser Umformungen kann durch eine Multiplikation mit einer oder mehreren Elementarmatrizen durchgeführt werden.

Beispiel. Es ist

       \(M_1 := \begin{pmatrix} 3&-4&5\\-2&9&6\\4&2&3 \end{pmatrix} \leadsto \begin{pmatrix}3&-4&5\\-2&9&6\\0&22&-11 \end{pmatrix} =: M_2\)

mittels Subtraktion des vierfachen der ersten Zeile vom dreifachen der dritten Zeile. Für diese Umformung werden folgende Elementarmatrizen benötigt.

• Erste Zeile mit -4 multiplizieren:

          \(E_1:= \begin{pmatrix}-4&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix} \)

• Dritte Zeile mit 3 multiplizieren:

          \(E_2:= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3 \end{pmatrix} \)

• Erste Zeile zur vierten addieren:

          \(E_3:= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1 \end{pmatrix} \)

• Erste Zeile mit \(-\frac{1}{4}\) Multiplizieren:

          \(E_4:= \begin{pmatrix}-\frac{1}{4}&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix} \)

Damit ist \(M_2 = E_4\cdot E_3\cdot E_2 \cdot E_1 \cdot M_1\).

Weil die \(E_i\) invertierbar sind, ist auch

        \(M_1 = E_1^{-1}\cdot E_2^{-1}\cdot E_3^{-1}\cdot E_4^{-1}\cdot M_2\).

Comments

Erst mal vielen Dank für diese hilfreiche Antwort. Ich habe allerdings noch Fragen. Wenn ich die Matrizen so durch multiplizieren dann müsste entweder M1 oder M2 rauskommen. Die eigentliche Frage, Wie invertiere ich eine Matrix. Ich Habs mal gewusst aber ich komme nicht direkt drauf. Zweitens, gibt es beim Umformen der Zeilen Tipps wie man am besten vorangeht. Darf man Zeilen auch umtauschen. Im Voraus schon mal vielen Dank.

Gruesse Erich

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Wie invertiere ich eine Matrix.

Füge rechts die Spalten der Eineitsmatrix hinzu.

Forme die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen so um, dass links die Einheitsmatrix steht.

Rechts steht dann die Inverse Matrix.

gibt es beim Umformen der Zeilen Tipps wie man am besten vorangeht.

Die Zeit, die man darauf verwendet, herauszufinden wie man am besten vorgeht, ist meistens verschwendete Zeit. Stattdessen ist man oft schneller, sich zuerst stur um die erste Spalte zu kümmern, dann um die zweite, und so weiter.

Darf man Zeilen auch umtauschen.

Ja, das gehört zu den elementaren Zeilenumformungen, die im, Gaußverfahren erlaubt sind.

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Vielen Dank für diese klare Antwort. Jetzt bin ich bei der Umsetzung gefragt.

Gruesse Erich

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Ich komme nochmal etwas verspätet auf diese Aufgabe zurück. Hier ist M2 ja die erste und zweite Umformung entsprechend der E1 und E2 die E3 und E4 sind in der endgültigen Umformung nicht als M4 dargestellt. Müsste es nicht eigentlich so aussehen. M1*E1*E2*E3*E4=M4.

Gruesse Erich

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Damit ist \(M_2 = E_4\cdot E_3\cdot E_2 \cdot E_1 \cdot M_1\).

Verlasse dich nicht darauf. Rechne es selbst nach.

Hier ist M2 ja die erste und zweite Umformung

M2 ist keine Umformung. Die Multiplikationen mit den E_i sind Umformungen. M2 ist das Ergebnis der Umformungen.

Müsste es nicht eigentlich so aussehen. M1*E1*E2*E3*E4=M4.

Elementare Zeilenumformungen werden durchgeführt indem die passende Elementarmatrix von links an die umzuformende Matrix multipliziert wird. Das ist wichtig, weil Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist.

Ob ich das Ergebnis meiner Umformungen M₂ oder M4 nenne, ist ganz alleine meine Entscheidung. Du darfst das bei deinen Umformungen anders machen.

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Ich muss ja in einer Aufgabe eine Matrix M33 als Produkt von Elementarmatrizen schreiben. Wenn das Produkt dann die Matrix M33 sein soll, dann muss ich die Elementarmatrizen so lange umformen bis ich eine Treppenstufennormalform habe und dann die E. Matrizen invertiere. Liege ich da richtig?

Gruesse Erich

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eine Matrix M33

Diese Matrix musst du umformen.

Jeden Umformungsschritt musst dur darstellen als Multiplikation mit einer Elementarmatrix.

Jede der dabei verwendeten Elementarmatrizen musst du invertieren.

Das Produkt der Inversen ist dann die Matrix, von der du asgegangen bist.

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Jetzt habe ich doch noch Fragen. Im Nachhinein sehe ich bei deinen Umformungen, daß aus der Elementarmatrix eine Treppenstufennormalform mit - 1/4 auf 11 steht. Warum jetzt saemtliche umgeformten E. Matrizen miteinander und auch mit der Multiplikation der urspruenglichen Matrix die Matrix mit der ersten Umformung ergibt ist mir, so leid es mir tut jetzt doch nicht so klar. Was bei mir jetzt bezogen auf meine Aufgabe angekommen ist ist wie folgt. Ich muß die M33 mit Elementarmatrizen so lange umformen bis bei einer Elementarmatrix eine Treppenstufennormalform kommt. Dann muss ich jede umgeformten Elementarmatrix mit Hilfe einer neuen Elementarmatrix invertieren und das Produkt, dieser 3 oder 4 invertieren Matrizen ergibt dann die ursprüngliche Matrize. Mit der Bitte um einen klaerenden Kommentar. Vielen Dank.

Gruesse Erich

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Ich hatte es ja schon längst selbst versucht, aber mir fehlt hier im Moment einfach noch die Übung.

Gruesse Erich

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Ich muß die M33 mit Elementarmatrizen so lange umformen bis bei einer Elementarmatrix eine Treppenstufennormalform kommt.

Du musst die M33 mit Elementarmatrizen so lange umformen bis das Ergebnis eine Elementarmatrix ist.

Beispiel. Die Matrix

        \(M:=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 4 & 9\end{pmatrix}\)

soll als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt werden.

Es gilt:

\(M\stackrel{\text{II: }3\cdot\text{II}-4\cdot\text{I}}{\leadsto}\begin{pmatrix}3 & 6\\0 & 3\end{pmatrix}\stackrel{\text{I: }\text{I}-2\cdot\text{II}}{\leadsto}\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 3\end{pmatrix}\stackrel{\text{II: }\frac{1}{3}\cdot\text{II}}{\leadsto}\begin{pmatrix}3 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\)

Die Umformungen lassen sich wie folgt durch Elementarmatrizen ausdrücken:

• \(\text{II: }3\cdot\text{II}-4\cdot\text{I}\)

          \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ -4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

• \(\text{I: }\text{I}-2\cdot\text{II}\)

          \(\begin{pmatrix}1 & -2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
  

• \(\text{II: }\frac{1}{3}\cdot\text{II}\)

          \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\)
  

Demnach ist

        \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ -4 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}M=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)

Stelle die Gleichung nach \(M\) um und du hast \(M\) als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt.

Answer 2

Es sieht nicht schön aus, doch es geht.

Text erkannt:

NTI N 0 is
\begin{tabular}{l}
1) 1 \\
\hline
\end{tabular}
11
II

Comments

Ja den Text habe ich schon erkannt.

Gruesse Erich

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Allerdings komme ich mit deinen Umformungen nicht so ganz klar.

Gruesse Erich