Zu zeigen ist, dass A^n eine Nullmatrix ist unter unterer Vorrausetzung.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und sei A = (aij ) ∈ Mn(K) eine Matrix mit aij = 0 für
alle i ≥ j. Zeigen Sie, dass dann An = A · . . . · A | {z }
n−mal
die Nullmatrix ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz wie ich da dran gehen soll. Ich meine, wenn a_ij immer 0 ist, so dürfen die Einträge dieser Matrix mit dem Delta-Kronecker nicht übereinstimme, bzw. die Indices des Delta-Kronecker, sodass dieses zu 0 wird.

Aber wirklich verstanden habe ich das nicht.

Answer 1

Schau dir mal ein konkretes Beispiel für zum Beispiel \(n=4\) an. Welche Struktur hat so eine Matrix und wie sehen die Potenzen dieser Matrix aus? Wenn du das Muster erkennst, kannst du per Induktion versuchen, das zu beweisen.

Man nennt derartige Matrizen übrigen strikte obere Dreiecksmatrix und die Eigenschaft nennt man nilpotent.

Comments

Hi, ich habe auch über weitere Einträge was zur Nilponten Matrizen gelesen und auch versucht mich schlau zu machen. Ich habe in meiner Aufgabe als Hinweis gegeben, dass n=3 genüge. Hier bei müsste ich nur für A^3, die Matrix a_ij 3 mal mit sich selbst multiplizieren. Ich denke in dem Umsetzen der Information komme ich nicht zurecht. Aber ich schau mal was ich daraus mache.

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Man kann auch \(n=3\) ausprobieren. Es geht darum, dass man die Struktur erkennt. Weißt du denn überhaupt wie eine solche Matrix aussieht, wie sie da beschrieben wird?

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Ich stelle mir folgendes drunter vor.

( a_11 ....... a_1m)

( ....              ......)

(a_n1 ..... a__nm)

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Das ist ja eine ganz allgemein Matrix. Jetzt weißt du aber, dass die Einträge \(a_{ij}=0\) sind, wenn \(i\geq j\) ist.

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Ich hatte dies schon so ähnlich vorhin, ich fand dies allerdings zu einfach... Also was heisst auch vorhin schon. Es war mehr ein, da a_ij = 0 für alle i>-j sind, so müssen auch alle Einträge der Matrix 0 sein.

Das ist in meinen Augen nicht genug..

Ach, ich habe mir deinen ersten Kommentar nochmals durchgelesen, das wäre doch jetzt mein Induktionsansatz...

Dann stelle ich eine allg Induktions voraussetzung und führe dann einen Beweis für alle n +1.

Korrekt ?

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Das ist nicht nur nicht genug, sondern schlicht falsch. Der Eintrag \(a_{12}\) ist nämlich nicht 0, da \(1<2\)!

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Kann es sein, dass nur die Diagonalen dann zu 0 werden ?

Also Eintrag a_11, a_22 usw.

Was passiert mit den anderen Einträgen ? Erhalte ich dann folgendes als zwischenergebnis:

(0 1)

(1 0)

Selbst wenn, in der Multiplikation wird 1 Eintrag = 1 sein, wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Undzwar dürfte die Multiplikation mit der selbigen Matrix dann

(1 0)

(0 1)

ergeben...

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Wenn nur die Diagonalelemente 0 sind, wäre \(i=j\) es sind aber ALLE Einträge 0, für die \(i\geq j\) gilt. Solange dir die Struktur einer solchen Matrix nicht klar ist, wirds mit dem Beweis schwierig.