Lineare Algebra - Matrizenbestimmung & Nullmatrix

Question

Aufgabe:

Sei A= (aij), die (n×n) - Matrix mit ai,i+1= 1 für alle 1≤i≤n und aij= 0 sonst.Bestimmen Sie die MatrizenA2,A3,...,An Hinweis:Schreiben Sie die Matrix A zunächst für n= 2,3,4 explizit auf und berechnen Sie in diesen Fällen die geforderten Potenzen von A.

b)  SeiA= (aij) eine (n×n) - Matrix mit aij= 0 für alle i≥j. Zeigen Sie, dass An die Nullmatrix ist. Sinngemäß verstanden gilt der Hinweis aus a) auch hier.

Problem/Ansatz:

ich weiß absolut nicht, wie ich bei den Aufgaben vorgehen muss, kann mir jemand einen Ansatz bieten?

MFG

Answer 1

Im Text Zeile 1 muss es genauer heißen: ...für alle 1≤i≤i+1≤ n, n≥2.

a) Du siehst, es sind Matrizen deren Nebendiagonale oberhalb der Hauptdiag Einsen hat, sonst überall Nullen.

Durch die Mult. zweier solcher Matrizen rutscht die besetzte Nebendiagonale immer eins weiter nach rechts oben, d.h. die erste obere Nebendiag wird zur 2. oberen usw.

A*A: die zweite obere Nebendiag ist mit Einsen besetzt, sonst nur Nullen.

Für eine nxn-Matrix A heißt das: A²: Nur die zweite obere Nebendiag hat Einsen.

                                                   A³: Die 3. obere    "              "

                                                   A^n-1: Die n-1. obere    "             (Eine n-te gibt es nicht.)

                                                 Nur noch ganz hinten in der 1. Zeile steht eine einsame 1, sonst nur Nullen.

                                                    Aⁿ = Aⁿ⁺1 = Aⁿ⁺² ...= Nullmatrix

b) Das sind linke untere Dreiecksmatrizen ohne besetzte Hauptdiagonale.

    ausführlicher zu einer ähnlichen Aufgabe:

    https://www.mathelounge.de/679845/matrix-matrizen-ausdrucke-berechnen