Es gilt für alle \( x \in \mathbb{R}^n \) $$ \| x \|_2 \le \| x \|_1 \le \sqrt{n} \| x \|_2 $$ Die letzte Ungleichung folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.
Mit $$ \| A \|_1 = \text{max}_{ x \ne 0 } \frac{ \| A x \|_1 }{ \| x \|_1 } $$ und $$ \| A \|_2 = \text{max}_{ x \ne 0 } \frac{ \| A x \|_2 }{ \| x \|_2 } $$ folgt aus den Ungleichungen für die Vektornormen
$$ \| A \|_1 \le \sqrt{n} \| A \|_2 $$ und $$ \| A \|_2 \le \sqrt{n} \| A \|_1 $$ Zusammen folgt
$$ \frac{ 1 } { \sqrt{n} } \| A \|_1 \le \| A \|_2 \le \sqrt{n} \| A \|_1 $$
Der andere Beweis geht ähnlich.