Du hast nicht beschrieben, was C[a,b] ist. Üblicherweise ist das die Menge aller stetigen Funktionen, deren Definitionsbereich das abgeschlossene Intervall zwischen a und b ist.
Du brauchst wohl nicht erläutern, dass die Maximumsnorm eine Norm ist und welche Bedingungen eine Norm ausmachen. Der Raum ist normiert mit der Maximumsnorm. Das reicht. Auf wohldefiniertheit könntest du vielleicht noch eingehen: gibt es denn überhaupt zu jedem Element aus C[a,b] die Maximumsnorm? Oder handelt es sich vielleicht nur um die Supremumsnorm?
> Falls eine Folge xi existiert die bezüglich der Maximumsnorm gegen die Funktion xj konvergiert, ist der Raum vollständig.
Das reicht nicht. Jede Cauchy-Folge muss konvergieren, damit der Raum vollständig ist. Cauchy-Folgen werden dabei über die durch die Norm induzierte Metrik definiert.
> ... wie man sich die Maximumsnorm am besten vorstellen kann
Das Maximum der Beträge der Funktionswerte.