Maximumsnorm Definition

Question

Kann mir bitte jemand bestätigen ob ich folgende Frage ausreichend beantwortet habe?
Beschreiben Sie möglichst genau was (C[a,b], ||.||_(∞))  bedeutet. Ist (......) vollständig?

Meine Antwort wäre dass dadurch ein Raum festgelegt wird und zwar durch die Menge (......). 
Der Raum ist außerdem normiert da die Maximumsnorm Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung erfüllt. Falls eine Folge x_i existiert die bezüglich der Maximumsnorm gegen die Funktion x_j konvergiert, ist der Raum vollständig. Vielleicht kann mir noch jemand erklären wie man sich die Maximumsnorm am besten vorstellen kann. Hab dazu zwar schon einiges gelesen aber kann mir den Begriff nicht wirklich vorstellen. Danke auf alle Fälle für die Hilfe!

Comments

EDIT: Wolltest du das so darstellen, wie es bei mir auf dem Bildschirm zu sehen ist?

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Nein ich hab gerade gesehen das es nach dem Hochladen etwas anders aussieht. Natürlich wollte ich es so darstellen ||.||∞

Hab gedacht anders sieht es besser aus aber dem war wohl nicht so

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EDIT: Habe oben gemäss deinem Kommentar korrigiert.

"Die obenstehende Frage" ist für mich auch noch etwas sehr vag. Möchtest du die Maximumsnorm definieren?

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Ja um genau zu sein war das eine Ehemalige Prüfungsfrage weshalb ich geschrieben habe was mir dazu eingefallen ist. Wollte eigentlich wissen ob das so weit stimmt was meine Aussage betrifft oder ob man das noch ergänzen kann. Wenn du aber eine leicht verständliche Definition der Maximumsnorm hast dann wäre ich dir auch sehr dankbar!

Answer 1

Du hast nicht beschrieben, was C[a,b] ist. Üblicherweise ist das die Menge aller stetigen Funktionen, deren Definitionsbereich das abgeschlossene Intervall zwischen a und b ist.

Du brauchst wohl nicht erläutern, dass die Maximumsnorm eine Norm ist und welche Bedingungen eine Norm ausmachen. Der Raum ist normiert mit der Maximumsnorm. Das reicht. Auf wohldefiniertheit könntest du vielleicht noch eingehen: gibt es denn überhaupt zu jedem Element aus C[a,b] die Maximumsnorm? Oder handelt es sich vielleicht nur um die Supremumsnorm?

> Falls eine Folge x_i existiert die bezüglich der Maximumsnorm gegen die Funktion x_j konvergiert, ist der Raum vollständig.

Das reicht nicht. Jede Cauchy-Folge muss konvergieren, damit der Raum vollständig ist. Cauchy-Folgen werden dabei über die durch die Norm induzierte Metrik definiert.

> ... wie man sich die Maximumsnorm am besten vorstellen kann

Das Maximum der Beträge der Funktionswerte.

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Was genau ist denn der Unterschied zwischen der Supremumsnorm und der Maximumsnorm?