Zeigen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die abgeschwächte Form der Bernoullischen Ungleichung

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die abgeschwächte Form der Bernoullischen Ungleichung $$ (1+x)^{n} \geq 1+n x $$ für \( x \geq 0 \) und \( n \in \mathbb{N} \).

Frage:

Es ist ja offensichtlich, dass diese Ungleichung wahr ist, da man den linken Teil als Summe aufschreiben kann und 1+nx nur ein Summand dieser langen Summe ist. Also ist es ja logisch, dass die Summe sicher größer gleich 1+nx ist. Wie kann man das jetzt mathematisch korrekt aufschreiben ohne (so wie ich jetzt) ganze Sätze zur Erklärung aufschreiben zu müssen?

Comments

Du sollst das Ganze mithilfe des binomischen Lehrsatzes beweisen. Das erspart dir einige Sätze und ist auch formaler.

Answer 1

Etwa so:

$$ (1 + x) ^n \\ = \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot1^{n-k}\cdot x^k \\ = \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot1\cdot x^k \\ = \sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot x^k \\ = \sum \limits_{k=0}^{1}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot x^k+\sum \limits_{k=2}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}\cdot x^k \\ = 1 +n \cdot x +\sum \limits_{k=2}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \cdot x^k \geq 1 +n \cdot x $$

Answer 2

$$(1+x)^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix}\cdot 1^{n-k}\cdot x^k=1+nx+\begin{pmatrix} n \\ 2\end{pmatrix}x^2+\cdots + x^n$$ Lässt du ein paar Summanden auf der rechten Seite weg, ist \((1+x)^n\) größer als die Summanden, die übrig geblieben sind. Es gilt also:$$(1+x)^n\geq 1+nx \cancel{+\begin{pmatrix} n \\ 2\end{pmatrix}x^2+\cdots + x^n}$$