Parameter a,b,c bestimmen

Question

Ich soll die Parameter a,b,c ∈ ℝ, sodass die Funktion f:ℝ → ℝ mit

f(x)= { -6e^x +a ,      x<0

          bx,                0≤ x≤1

         12/pi cos(pi/2 x)+c,   1<x

stetig und differenzierbar ist bestimmen.

Nur leider fällt mir, dass schwer und hoffe das mir jemand helfen kann.

Answer 1

Nenne die 3 Funktionsterme f1, f2 und f3. Stelle dann die Bedingungen auf

f1(0) = f2(0)
f1'(0) = f2'(0)
f2(1) = f3(1)
f2'(1) = f3'(1)

Entwickel daraus die Gleichungen und löse das Gleichungssystem.

Ich komme dabei auf: a = 6 ∧ b = -6 ∧ c = -6

Answer 2

Du hast die Punkte (x=0 ;f(0)) und

(x=1;f(1))

an diese Punkte grenzen jeweils zwei Funktionen.

Diese Funktionen sind so anzugleichen, dass sie in den Punkten gleich sind und dass auch ihre Ableitung gleich ist.

fangen wir also mit der Mittleren an, das ist ja auch die einfachste.

$$f_2(x)= bx$$$$f_2(0)= 0$$$$f_2(1)= b$$$$f'_2(x)=b$$$$f'_2(0)=b$$$$f'_2(1)=b$$

$$f_1(x)=-6e^{x} +a$$$$f_1(0)=-6+a=0$$$$a=6$$$$f'_1(x)=-6e^{x}$$$$f'_1(0)=-6=b$$

$$f_3(x)=12/pi cos(pi/2 x)+c$$$$f_3(1)=c=b$$$$f'_3(x)=-6sin(pi/2x)$$$$f'_3(1)=-6=b$$

Zusammenfassung

$$a=6; b=c=-6$$