Was ist die Stammfunktion von f(x)=sin(e^x+4)*e^x

Question

Aufgabe:

Was ist die Stammfunktion von $$f(x)=sin(e^x+4)*e^x$$ dx

Problem/Ansatz:

Muss ich hier erst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden?

Comments

Du beñotigst hier die Umkehrung der Kettenregel

Answer 1

Hallo,

Substituiere z=e^x+4

Comments

Meinst du die Nullstellen berechnen?

---

nein, das ist etwas anderes.

Muss ich hier erst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden? nein

---

Welche Regel würdest du Anwenden?

---

Lautet die Aufgabe wirklich so?

Geht es um das Differenzieren oder Integrieren?

---

Ich soll die Funktion Aufleiten.

Aufgabenstellung:

Geben Sie jeweils eine Stammfunktion F(x) für folgende Funktionen an:

---

Aufgabe: ∫ sin(e^x+4) e^x dx

z=e^x+4

dz/dx= e^x

dx=dz/e^x

---->

=∫ sin(z) dz . das e^x kürzt sich weg

= -cos(z) +C

= -cos(e^x+4) +C

---

Das ist die Faktorregel oder?

---

nein, das ist Integration via Substitution . Wenn Ihr das nicht so hattet,

dann vergiss meinen Beitrag.

---

Oke. Also geht nur mit Substitution?

---

Also geht nur mit Substitution? JA

Du kannst Es auch via partieller Integration lösen, aber das zu umständlich.

PS: Du mußt es immer so machen, wie Du es in der Schule gelernt hast.

Answer 2

$$f(x)=sin(e^x+4)*e^x$$
Raten ist am einfachsten

 $$ Stammfunktion :$$

$$F(x)=-cos(e^x+4)  +C$$

Das geht gut.

Denn

$$F'(x)=f(x)$$

Comments

Wir müssen doch die Produnktregel anwenden?

Weil g(x) * h(x) oder verstehe ich das jetzt falsch? Du hast jetzt die Faktorregel genutzt oder? Aber e^x ist doch kein faktor?

---

Ich habe die Kettenregel benutzt

Wie gesagt habe ich die Stammfunktion geraten, dann sagt die Kettenregel Innere Ableitung mal äußerer Ableitung.

---

Wie geraten? Ist e^x keine Funktion? Dann müssen wir doch die Produnktregel nutzen. Oder warum machen wir das nicht?

---

Wenn wir die Stammfunktion bilden, müssen wir erst einmal kein besonderes Verfahren anwenden.  Wenn der Lehrer sagt, dass du die Regel benutzen musst, dann ist es etwas anderes.

 $$g(x)= e^x $$

ist eine Funktion.

Und

 $$g'(x)=e^x=g(x)$$

Ist die Ableitung davon

Doch

$$F(x)= -cos(g(x)+4) +C$$

Ist auch eine Funktion,

davon ist die Ableitung

$$F'(x)=sin (g(x)+4)*g'(x)=f(x)$$

Also ist F(x)die Stammfunktion von f(x)

Wenn du das noch etwas allgemeiner schreibst und umstellt, bekommst du auch die Produktregel.

---

Ich verstehe nicht, warum das e^x weg fällt. Also das was hinten an der Funktion Multipliziert ist.

---

Das

$$g ′ (x)=e^ x =g(x)$$

Fällt nicht weg.

$$F ′ (x)=sin(e^x+4)∗e^x =f(x)=$$ 

$$F ′ (x)=sin(g(x)+4)∗g ′ (x)=f(x)$$

---

Also ist die Stammfunktion:

\( F(x)=-\cos (e^x+4)*e^x \) ?

---

Nein, ist sie nicht. Hogar hat dir die Stammfunktion bereits genannt.

---

Ich habe die Antwort geändert und es nochmal dazu geschrieben, was die Stammfunktion ist.

---

Dann ist sie das= \( F(x)=-\cos (e^x+4)+C \)

Aber hier fehlt doch das e^x

---

Aber hier fehlt doch das ex

Nein! Leite F(x)=-cos(e^x +4) ab, dann taucht der Faktor e^x als innere Ableitung auf!.

---

In f(x) stehen zwei e^x in F(x) steht noch eins, doch sas eine e^x fehlt nicht, das siehst du, wenn du die Ableitung von F(x) bildest. Dabei bitte die Kettenregel beachten, also innere Ableitung mal äußere Ableitung. Und Schluss ist e^x wieder da.

---

In f(x) stehen zwei e^x in F(x) steht noch eins, doch das eine e^x fehlt nicht, das siehst du, wenn du die Ableitung von F(x) bildest.