autonome Differentialgleichung mit der Lösung y(t)=sin(t) und soll zeigen, dass cos(t) auch eine Lösung ist.

Question

Hallo, ich brauche dringend Hilfe bei dem Thema autonome Differentialgleichung.
Wir haben eine autonome Differentialgleichung F(y,y',y'',y''',...,y⁽ⁿ⁾)=0 mit der Lösung y(t)=sin(t). Nun soll man zeigen, dass cos(t) auch eine Lösung ist. Hat jemand da einen Tipp oder einen Lösungsweg?

Answer 1

Setze cos(t) in die Differentialgleichung ein.

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Inwiefern wo einsetzen. Ich hatte leider so gut wie gar nichts zu dem Thema Differentialgleichung und weiß nur, dass die Funktion unabhängig von der ersten Variable ist

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Hier ist eine Gleichung:

        x² - 6x + 9 = x-3.

Um zu zeigen, dass 3 eine Lösung der Gleichung ist, setzt man die 3 für x in die linke Seite der Gleichung ein:

        3² - 6 · 3 + 9

das ergibt 0.

Dann setzt man 3 für x in die rechte Seite der Gleichung ein:

        3 - 3

das ergibt ebenfalls 0.

Da durch Einsetzen von 3 auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Wert steht, ist 3 eine Lösung der Gleichung. Das Prinzip sollte eigentlich aus Klasse 7 bekannt sein.

Bei Differentialgleichungen ist das nicht anders, zum Beispiel bei der Differentialgleichung

        y(t)² + y'(t)² = 1.

Setzt man cos(t) für y(t) ein (N.B. dann ist y'(t) = -sin(t)), dann bekommt man auf der linken Seite

        cos(t)² + (-sin(t))²

was mittels trigonometrischen Pythagoras 1 ergibt.

Auf der rechten Seite steht ebenfalls 1. Also ist cos(t) eine Lösung der Differnetialgleichung y(t)² + y'(t)² = 1.

Answer 2

Hallo,

Tipp:

cos(t)=sin(t+π/2)

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Magst du eventuell erläutern wie man das für den Beweis nutzen kann? Stehe etwas auf dem Schlauch