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Hallo, ich brauche dringend Hilfe bei dem Thema autonome Differentialgleichung.
Wir haben eine autonome Differentialgleichung F(y,y',y'',y''',...,y(n))=0 mit der Lösung y(t)=sin(t). Nun soll man zeigen, dass cos(t) auch eine Lösung ist. Hat jemand da einen Tipp oder einen Lösungsweg?
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Setze cos(t) in die Differentialgleichung ein.

Avatar von 107 k 🚀

Inwiefern wo einsetzen. Ich hatte leider so gut wie gar nichts zu dem Thema Differentialgleichung und weiß nur, dass die Funktion unabhängig von der ersten Variable ist

Hier ist eine Gleichung:

        x2 - 6x + 9 = x-3.

Um zu zeigen, dass 3 eine Lösung der Gleichung ist, setzt man die 3 für x in die linke Seite der Gleichung ein:

        32 - 6 · 3 + 9

das ergibt 0.

Dann setzt man 3 für x in die rechte Seite der Gleichung ein:

        3 - 3

das ergibt ebenfalls 0.

Da durch Einsetzen von 3 auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Wert steht, ist 3 eine Lösung der Gleichung. Das Prinzip sollte eigentlich aus Klasse 7 bekannt sein.

Bei Differentialgleichungen ist das nicht anders, zum Beispiel bei der Differentialgleichung

        y(t)2 + y'(t)2 = 1.

Setzt man cos(t) für y(t) ein (N.B. dann ist y'(t) = -sin(t)), dann bekommt man auf der linken Seite

        cos(t)2 + (-sin(t))2

was mittels trigonometrischen Pythagoras 1 ergibt.

Auf der rechten Seite steht ebenfalls 1. Also ist cos(t) eine Lösung der Differnetialgleichung y(t)2 + y'(t)2 = 1.

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Hallo,

Tipp:

cos(t)=sin(t+π/2)

Avatar von 37 k

Magst du eventuell erläutern wie man das für den Beweis nutzen kann? Stehe etwas auf dem Schlauch

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