Untersuchen Sie f auf Stetigkeit an der Stelle x0=2.

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie f auf Stetigkeit an der Stelle x0=2.

f(x)={\( \frac{x+2}{x-2} \), x<2 | 2, x>=2}

Jetzt habe ich durch das linksseitige annähren durch den Limes (einsetzen von 1,9;1,99;...):
lim x-->2 \( \frac{x+2}{x-2} \) = ∞
erhalten und bei f(x)=2 also bei der 2ten Funktion ist ja klar das f(2)=2 ist.

Jetzt würde ich sagen: Die Funktion f(x) ist an der Stelle x0=2 nicht stetig.

Ist das so richtig? Ich schreibe übermorgen eine Klausur, deswegen wollte ich einfach nochmal sichergehen, dass ich das richtig verstehe.

Comments

linksseitig von x=2, strebt die Funktion aber gegen -∞ wenn x gegen 2 strebt

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Hast Recht, vielen Dank!

Answer 1

Ja das ist so richtig.

Answer 2

Hallo

Du hast insgesamt Recht, nur solltest du dazu schreiben, dass links und rechtsseitigen Grenzwerte der Funktion bei x =2 nicht übereinstimmen, deshalb  unstetig. (allerdings, wenn beide oo wären ist es auch unstetig, d,h, es reicht, dass ein GW oo ist.

Gruß lul

Answer 3

$$f(x)={\frac{x+2}{x-2}  ; x<2 | 2; x>=2}$$$$x=2-d;d>0$$$$f(d)={\frac{2-d+2}{2-d-2} }$$$$f(d)={\frac{4-d}{-d} }$$$$f(d)={\frac{-4}{d} +1}$$$$ \lim\limits_{d\to0} \frac{-4}{d} +1=-∞ $$$$ \lim\limits_{x\to2} \frac{x+2}{x-2} =-∞ $$

Für x<2

Bei x= 2 ist die Funktion nicht stetig

Comments

Das mit dem d verstehe ich irgendwie nicht. Kannst du erklären was du da gerechnet hast?

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Ich will sehen , wie sich die Funktion in der Nähe von 2 verhält darum setze ich x =2-d

d lasse ich dann gegen 0 streben, womit ich mich 2 nähere, doch nie erreiche.

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Okay, aber genau das gleiche macht man doch auch bei \(\lim\limits_{x\to2} \frac{x+2}{x-2} =-∞ \) oder nicht? Man nährt sich der 2. Ist das mit dem d dann nicht überflüssig?

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Richtig, doch du hattest ∞ und nicht wie es richtig ist und wie du jetzt schreibst -∞, das wollte ich nur noch einmal untermauern.

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Achso okay, denkst du, das reicht so wie ich es geschrieben habe dann auch in der Arbeit?

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Wenn du −∞ schreibst, reicht es .

Answer 4

( x + 2 ) / ( x -2 )  bei x = 2
Bei x = 2 ist die Funktion nicht definiert : 4 / 0
Es ist eine Polstelle. Also keine Stetigkeit bei
x = 2.

Comments

Aber nur weil eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, muss es doch nicht heißen, dass diese dort nicht stetig ist oder?

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Laut Definition der Stetigkeit an einer Stelle muss dort der Grenzwert bei Annäherung an die Stelle existieren UND MIT DEM FUNKTIONSWERT AN DER STELLE ÜBEREINSTIMMEN.

Wenn die Funktion dort aber nicht definiert ist, existiert der Funktionswert nicht einmal und kann damit auch nicht mit dem Grenzwert übereinstimmen.

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Achso okay, danke.