Stetigkeit an Stelle x0=2 bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x)=\frac{1}{x} \) und sei \( x_{0}=2 \).

Beweisen Sie die Stetigkeit von \( f \) an der Stelle \( x_{0}=2 \) mit Hilfe der \( \varepsilon-\delta \)-Definition.

Answer 1

Sei ε>0. Suche ein δ>0 mit | x-2| < δ  ==>  | f(x) - f(2) | < ε

Betrachte dazu \(  | f(x) - f(2) | =| \frac{1}{x}-\frac{1}{2}| = | \frac{2-x}{2x} |=  \frac{|2-x|}{|2x|} \)

Wähle δ so, dass es jedenfalls ≤1 ist und auch <ε, also δ=min{1;ε}.

Dann gilt | x-2| < δ ==>   | x-2| < ε Und weil wegen δ≤1 jedenfalls 2x>1 gilt,

folgt aus | x-2| < ε  auch \(  \frac{|2-x|}{|2x|} \) < ε

also   \(  | f(x) - f(2) |  \) < ε