Scheitel der Parabel mit der Gleichung f(x)=-2x^2+6x berechnen

Question

Scheitel berechnen von 

 

f(x)=-2x²+6x              Wie geht das??

 

und wie muss man die Parabel f(x)= -2x²+6x verschieben, dass sie durch den Punkt P(3/4) verläuft ??

Comments

Hi,

eine Verschiebung in x-Richtung wird durch Addition oder Subtraktion einer Zahl an der x-Komponente erwirkt.

a)

Wenn wir also den Scheitelpunkt auf die y-Achse verschieben wollen, brauchen wir erstmal den Scheitelpunkt selbst.

y = -2x^2+6x

y = -2(x-1,5)^2+4,5   (über quadratische Ergänzung)

Liegt also bei S(1,5|4,5)

Die x-Komponente ist also 1,5. Die Verschiebung ist nun verbunden mit der Addition von 1,5 an die x-Komponente um den Graphen nach links zu schieben:

y = -2(x+1,5)^2 + 6(x+1,5) = -2x^2+4,5

 

b)

Wollen wir nun, dass der Graphen durch P(3|4) verläuft, so suchen wir ein a, für welches die Bedingung erfüllt ist.

Ansatz:

y = -2(x-a)^2 + 6(x-a)

Einsetzen von P:

4 = -2(3-a)^2 + 6(3-a) = -2a^2 + 6a - 4 = 0   |:2, dann pq-Formel

a₁ = 1 und a₂ = 2

 

Man hat also die beiden Möglichkeiten den Graphen um 1 nach rechts oder um 2 nach rechts zu verschieben (wir subtrahieren ja a, weswegen das einer Rechtsverschiebung gleichkommt)

y₁ = -2(x-1)^2 + 6(x-1) = -2x^2+10x-8

y₂ = -2(x-2)^2 + 6(x-2) = -2x^2+14x-20

 

Alles klar?

Grüße

Answer 1

Hi,

gehe wie folgt vor:


y = -2x^2+6x

=-2(x^2-3x)

=-2(x^2-2*1,5x)           (b ist also 1,5 und damit b^2 = 2,25)

=-2(x^2-2*1,5x+2,25-2,25)

=-2((x-1,5)^2-2,25)

=-2(x-1,5)^2 + 4,5


Der Scheitel liegt also bei S(1,5|4,5).


Grüße

Comments

und wie muss man die Parabel f(x)= -2x2+6x verschieben, dass sie durch den Punkt P(3/4) verläuft ??

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Alternativ und wäre von mir hier bevorzugt:

Nullstellen bestimmen:

-2x^2+6x = 0   |:-2

x^2-3x = 0

x(x-3) = 0

Nullstellen also bei

x₁ = 0 und x₂ = 3

Der Scheitelpunkt liegt exakt dazwischen:

x = 1,5

Nur noch in die Parabel einsetzen und man kommt ebenfalls auf S(1,5|4,5).

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Eine Verschiebung bedeutet entweder in vertikaler oder in horizontaler Richtung oder beides.

Ich mache mal die horizontale.

 

Scheitelpunktform:

y = -2(x-1,5)² + 4,5

Verschiebung (horizontal):

y = -2(x+a-1,5)² + 4,5

4 = -2(3+a-1,5)^2 + 4,5

Das löse:

a = -2 oder a = -1

 

Du musst die Parabel also entsprechend entweder um 1 oder um 2 Einheiten nach rechts (wegen dem negativen Vorzeichen von a) verschieben.

Answer 2

f(x) = -2x^2 + 6x

f(x) = -2(x^2 - 3x)

f(x) = -2(x^2 - 3x + 1.5^2 - 1.5^2)

f(x) = -2((x - 1.5)^2 - 2.25)

f(x) = -2(x - 1.5)^2 + 4.5

Scheitelpunkt S(1.5 | 4.5)