b)bei wieviel Prozent aller Teile weicht die Lebensdauer um weniger als 1 Monat vom Erwartungswert ab?

Question

Aufgabe:

die Lebensdauer eines Ersatzteils ist normalverteilt mit dem erwartungswert 180 Tage und der Standardabweichung 40 Tage.

a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer weniger als 3 Monate beträgt.

P(x<3)=(90-180/40)=-2,25=0,0122

b)bei wieviel Prozent aller Teile weicht die Lebensdauer um weniger als 1 Monat vom Erwartungswert ab?

Problem/Ansatz:

bei b) das sind ja 30 Tage

Es muss 54,67 kommt raus

Wie schreib ich das an und wieso schau ich in der D Tabelle nach

Answer 1

Aloha :)

Die Lebensdauer \(L\) ist normal-verteilt mit \(\mu=180\) und \(\sigma=40\) Tagen.

a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer weniger als 3 Monate beträgt.

$$p(L<90)=\phi\left(\frac{90-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{90-180}{40}\right)=\phi\left(-2,25\right)$$$$\quad=1-\phi(2,25)\approx1,2224\%$$

b)bei wieviel Prozent aller Teile weicht die Lebensdauer um weniger als 1 Monat vom Erwartungswert ab?

$$p(\mu-30<L<\mu+30)=p(L<\mu+30)-p(L<\mu-30)$$$$\quad=\phi\left(\frac{(\mu+30)-\mu}{\sigma}\right)-\phi\left(\frac{(\mu-30)-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{30}{\sigma}\right)-\phi\left(-\frac{30}{\sigma}\right)$$Wegen \(\phi(-z)=1-\phi(z)\) können wir das noch weiter zusammenfassen:$$\quad=\phi\left(\frac{30}{40}\right)-\left[1-\phi\left(\frac{30}{40}\right)\right]=2\cdot\phi(0,75)-1\approx54,6745\%$$

Comments

Warum muss ich (-2,25) von 1 abziehen?

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Wenn das Argument der Phi-Funktion negativ ist, gilt die Regel:$$\phi(-z)=1-\phi(z)$$Daher kannst du folgende Ersetzung vornehmen:$$\phi\left(-\frac{30}{\sigma}\right)=1-\phi\left(\frac{30}{\sigma}\right)$$Dann brauchst du am Ende nur einen Wert der Phi-Funktion zu bestimmen.

Answer 2

P(x<3)=(90-180/40)=-2,25=0,0122

ist bei a) formal falsch aufgeschrieben. Richtig wäre P(x<3) = Φ((90-180)/40)= Φ(-2,25)=0,0122

Es geht bei b) um das Intervall µ-30 Tage bis µ + 30 Tage, also um µ-0,75σ bis µ + 0,75σ.

Du benötigst Φ(0,75) und Φ(-0,75).