gegen welchen Grenzwert konvergiert diese Folge?

Question

$$c_{n}=n\left(\frac{1}{\sqrt{n+2}}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$ Gegen welchen Grenzwert konvergiert diese Folge?

Answer 1

Aloha :)

$$c_n=n\left(\frac{1}{\sqrt{n+2}}-\frac{1}{\sqrt n}\right)=n\left(\frac{\sqrt n}{\sqrt n\sqrt{n+2}}-\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt n\sqrt{n+2}}\right)=n\frac{\sqrt n-\sqrt{n+2}}{\sqrt n\sqrt{n+2}}$$$$\phantom{c_n}=n\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{n^2+2n}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}\cdot\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$$$$\phantom{c_n}=\frac{n-(n+2)}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}\cdot(\sqrt{n}+\sqrt{n+2})}=\frac{-2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}\cdot(\sqrt{n}+\sqrt{n+2})}\to0$$

Answer 2

Hallo

 1.  Klammer auf den Hauptnenner bringen,

2. mit der Summe der Wurzeln erweitern (3, Binom)

3. dann siehst du hoffentlich den GW

Gruß lul