Question

Kann ich die Konvergenz dieser Reihe mit dem Wurzelkriterium bestimmen? Ich hätte dann also n-te Wurzel aus (Pi/7)^n das wäre kleiner als 1 und würde deshalb konvergieren. Ist das legitim so?
$$c)\quad \sum \limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\pi}{7}\right)^{\!-n} $$

Answer 1

Hallo,

ja, du kannst das Wurzelkriterium verwenden. Hier erkennt man aber auch schnell, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt. In beiden Fällen divergiert die Reihe.

Wurzelkriterium:$$\sqrt[n]{\left(\frac{\pi}{7}\right)^{-n}}=\sqrt[n]{\left(\frac{7}{\pi}\right)^{n}}=\frac{7}{\pi}\xrightarrow{n\to \infty}\frac{7}{\pi}>1$$

Comments

Wieso tauschen die 7 und Pi Platz? wegen dem negativen n? aber das Wurzelkriterium verlangt ja ohnehin den Absolutbetrag also wir das n dann sowieso positiv oder?

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Warum ist 7/π<1 ?

Du bist zu spät, ist schon korrigiert! :P

Wieso tauschen die 7 und Pi Platz? wegen dem negativen n? aber das Wurzelkriterium verlangt ja ohnehin den Absolutbetrag also wir das n dann sowieso positiv oder?

Es gilt \(|a_n^n|=|a_n|^n\). Der Betrag macht aus Negativem Positives. Kann \(\left(\frac{\pi}{7}\right)^{-n}\) negativ werden?

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jetzt verstehe ich, dankeschön :)