f(x) = A / x^α - wie kann man diese Funktion beschreiben?

Question

es geht um die Funktion f(x) = A / x^α

Mit dieser soll ich einige Funktionsscharen darstellen. Mathematisch muss ich dabei erklären, was konkret mit den Kurven passiert, wenn ich den Parameter A verändere. Ich glaube, dass A die Stauchung der Kurve in y Richtung angibt. Ist das soweit richtig gedacht?

Selbiges für Alpha: Ich habe keine Ahnung, wie sich die Veränderung beschreiben lässt. Ist Alpha nun ein Winkel? Oder nähert sich durch Alpha der Graph ab einem bestimmten Wert schneller der x-Achse an (ab welchem Wert?)

Ich danke euch schon mal für eure Hilfe, diese Funktion bereitet mir schon einige nachdenkliche Stunden.

Was ist das überhaupt für eine Funktion? Eine rationale?

Comments

Gibt es Einschränkungen für die Werte, z.B. \(\alpha\ge0\) oder so?

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Alpha soll den Wert 1 als Standard annehmen und dann von 0.5 bis 3 variiert werden

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Kann man sagen, dass es sich dabei um eine Hyperbelfunktion handelt?

Answer 1

Du hast eine Potenzfunktion

f(x) = A / x^α = A · x^{-α}

A ist der Streckfaktor in y-Richtung.

Der Exponent α ist kein Winkel sondern beschreibt mit welcher Potenz sich der Graph an die x bzw. y-Achse anschmiegt.

Für α = 2 schmiegt sich der Graph schneller der x-Achse an. Für α = 0.5 schmiegt sich der Graph schneller der y-Achse an.

Zeichne dir mal die Graphen für α = 0.5 ; 1 sowie 2

Comments

Danke, das hilft mir schon ziemlich weiter!

Was genau bedeutet Streckfaktor?

Bei A = 1 und Alpha = 3 entsteht eine Hyperbel. Das macht die Funktion aber nicht zu einer Hyperbelfunktion, oder? Und wenn, ist sie dann immer noch eine Potenzfunktion?

Das mit dem anschmiegen hab ich noch nicht ganz verstanden. Kann man dazu auch annähern sagen?

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Kann man dazu auch annähern sagen?

Ja das könntest du auch sagen. Ich glaube dafür gibt es kein wirklichen Fachbegriff. Ist mir zumindest nicht bekannt.

Answer 2

Aloha :)

Ja, der Graph ist eine Hyperbel. Du musst allerdings mit negativen \(x\)-Werten vorsichtig sein. \(x^\alpha\) ist in \(\mathbb R\) für negative \(x\) nur definiert, wenn \(\alpha\) eine ganze Zahl ist. Daher habe ich die negativen \(x\)-Werte in der folgenden Darstellung weggelassen.

Variation von \(A\)

https://www.desmos.com/calculator/egur2u3qs1

Variation von \(\alpha\)

https://www.desmos.com/calculator/bfdh7pduyx