Mathemissverständnis integral

Question

Ich könnte bei einigen Sachen Hilfe gebrauchen.

Ich habe eine Staubecken Aufgabe. In dieser ist mir die Funktion

67200*e^0,112t*(3+e^0,112t)^-2 gegeben.

Die Ableitungen habe ich bereits erfolgreich gemeistert.

f´(x)= -15052*(e^0,112t)^2*(3+e^0,112t)^-3+7526,4*e^0,112t*(3+e^0,112t)^-2

f´´(x)= 5057,741*(e^0,112t)^3*(3+e^0,112t)^-4-5057,741*(e^0,112t)^2*(3+e^0,112t)^-4+842,957*e^0,112t*(3+e^0,112t)^-2

Meine Probleme:

1. Bestimme den Zeitpunkt, wann die Zuflussrate maximal ist + wie viel m^3 zu dem Zeitpunkt in den See fließen.

--> Ich dachte erstmal ich müsste einfach die Extremstellen berechnen, aber ich glaube das ist falsch und komme auch nur auf den Tiefpunkt.

2. Ich habe eine Aufgabe mit einem Deich. Dieser wird mit der Funktion w(t)=2,4*x^2*e^-0,5x im Intervall [0;15] beschschrieben. Ich soll nun die Höhe berechnen → heißt ich soll die Extremstellen berechnen?

3. Wie berechne ich einen Winkel? Ich soll nämlich zeigen, dass das maximale Gefälle der Böschung (beim Deich auf der Wasserseite) nicht größer als 45° ist.

Es wäre wirklich toll wenn mir jemand helfen könnte.

Bea

Answer 1

Ich habe eine Staubecken Aufgabe. In dieser ist mir die Funktion ... gegeben.

Du musst schon sagen, was diese Funktion angeben soll.

Den zeitlichen Verlauf des Stauvolumens?

Die Änderungsrate des Stauvolumens?

Die Entwicklung der Salmonellenpopulation auf dem Eiersandwich des Staumeisters?

Comments

Also die oberste Funktion gibt die momentane Wasserzuflussrate an und die andere mit w(t) das Profil des Deichquerschnitts

Answer 2

Hallo,

1. dein Ansatz ist richtig und es gibt einen Hochpunkt. Die Menge des Wassers ist dann das Integral zwischen 0 und 9,8

2. Ich würde "Höhe", ohne die genaue Aufgabenstellung, auch so interpretieren, das damit die y-Koordinate des Hochpunktes gemeint ist.

3. Berechne die Wendepunkte und ihre Steigung. Dann weißt du, wo die Böschung am steilsten ist.

Berechne dort den Winkel mit "tangens vom Steigungswinkel = Steigung"

Falls du noch Hilfe brauchst, melde dich bitte.

Gruß, Silvia

Comments

Also folgendes und zwar verstehe ich nicht so ganz wie ich das mit dem Integral dann eingeben soll und wo die 49999,7856 herkommen.

Beim zweiten hab ich es hinbekommen. Allerdings wird noch eine weitere Aufgabe daran angeknüpft. Ich soll sagen welche Seite des Deichs die dem Wasser zugewandte Seite ist.
Ich dachte erst es wäre die Richtung 0, aber nachdem ich die obere und untere Grafik kombiniert habe und einen geraden Strich nach unten gezogen habe, bin ich mir nicht mehr sicher.

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Du bildest die Stammfunktion

\(F(t)=-\frac{600000}{e^{\frac{14t}{125}}+3}\) und berechnest das Integral von 0 bis 9,81.

Ergebnis ≈ 50.000

Wenn du die jeweiligen Winkel berechnest, wirst du feststellen, dass einer größer und einer kleiner als 45° ist. Dann kannst du die Frage beantworten.

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Ich habe jetzt alles berechnet glaube aber, dass ich irgendwo einen Fehler habe.

Die Steigung meines ersten WP ist 2,21 und vom anderen -0,76

wenn ich dann den tan anwende bekomme ich

2,21 = 65,65

-0,76 = -37,23 (muss man glaube ich dann mit 180 addieren) =142,77

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Du hast alle richtig gerechnet.

Ein negativer Winkel bedeutet, dass er im Uhrzeigersinn abgetragen wird. Das ändert aber nichts an seiner Größe. Die Wasserseite ist also rechts.

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Also ist die Wasserseite nun da wo es flacher absinkt? (nach dem Hochpunkt)

Und somit ist es, obwohl es negativ ist unter 45° und richtig, korrekt?

Könntest du mir vielleicht nochmal erklären, wie genau du das einsetzt?

Du bildest die Stammfunktion
\(f(t)=-\frac{600000}{e^{\frac{14t}{125}}+3}\) und berechnest das Integral von 0 bis 9,81.

Ergebnis ≈ 50.000

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Also ist die Wasserseite nun da wo es flacher absinkt? (nach dem Hochpunkt)
Und somit ist es, obwohl es negativ ist unter 45° und richtig, korrekt?

korrekt

Variante mit 5 Stellen nach dem Komma, also noch etwas genauer:

$$\int \limits_{0}^{9,80904}F(9,80904)-F(0)=-\frac{600000}{e^{\frac{14\cdot 9,80904}{125}}+3}-\bigg(-\frac{600000}{e^{\frac{14\cdot 0}{125}}+3}\bigg)=-99999,99-(-150000)=50000,01$$

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Okay danke, dass macht Sinn. Diese 50000 sind dann die Wassermenge, welche bis zum Hochpunkt ins Staubecken fließt richtig?

Also auf die Aufgabenstellung: Bestimmen SIe den Zeitpunkt, an dem die Zuflussrate maximal ist. Geben sie an, wie viel m^3 zu diesem Zeitpunkt ins Becken laufen.

Die anwort lautet also:
Die Zuflussrate ist am Punkt (9.809/5600) maximal. Zu diesem Zeitpunkt sind 50000,01m^3 im Becken
(ist die Zuflussrate pro tag dann auch die 9,809?)

Ich hätte noch eine weitere Frage, welche ich nicht oben in die Aufgabenstellung geschrieben habe. Wäre es okay wenn ich die noch zusätzlich stelle?

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Die Antwortet lautet:

Die Zuflussrate ist nach 9,81 Stunden (?) maximal. Zu diesem Zeit sind 50.000 cbm im Becken.

Die Zuflussrate sind 5.600 l (?)

Ich weiß nicht, welche Einheiten in der Aufgabe angegeben sind.

Wenn du deine Aufgabe neu einstellst, ist die Chance größer, mehrere Antworten zu erhalten. Du kannst sie aber auch hier einfügen.

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Also die Zuflussrate ist nach 9,81 Tagen maximal.
Somit habe ich auch diese Aufgabe gemeistert.

Kommen wir nun zum nächsten Problem:
Es ist geplant, die Deichkrone auf einer Höhe von 4,5m abzutragen, um darauf einen Radweg anzulegen. Ermitteln sich die Breite des Radwegs und wie viel m^3 Erde dafür auf einer Länge von 1000m Abgetragen werden müssen.

Meine Vermutung/ Mein Ansatz:
Ich weiß wo die Wasserseite ist und habe jetzt zwei Vermutungen.

Der Radweg geht einfach wie eine liegende Gerade auf der Höhe von 4,5m entlang
Er verläuft mit der Geraden bis zur Höhe 4,5m

Allerdings bin ich mir nicht sicher

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Schau dir mal die Skizze an

Wenn du den Abstand zwischen den beiden Punkten = Schnittpunkte von f(x) mit der Gerade y = 4,5 bestimmt, hast du auch die Breite des Radweges ( = 3,05 m).

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und wie genau berechne ich das?

setze ich für y einfach 4,5 ein und seite dann die Schnittpunkte irgendwie ein um es dann umzustellen?

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Genau

\(2,4x^2\cdot e^{-0,5x}=4,5\)

Das kann man aber - glaube ich - nur über ein Näherungsverfahren lösen. Ich habe Geogebra "rechnen lassen".

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Okay und wie soll ich jetzt

wie viel m3 Erde dafür auf einer Länge von 1000m Abgetragen werden müssen.

berechnen?

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Du berechnest den grünen Flächeninhalt = Integral f(x) - y zwischen den Schnittpunkten und multiplizierst das Ergebnis mit 1000.

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Könntest du mir vielleicht einmal erklären wie genau ich das aufschreiben muss weil ich irgendwie auf -39 komme.

Der Integral ist zwischen den beiden Punkten der Geraden oder?

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1,39-4,5*1000 = -4498,61
(1,39-4,5)*1000 = -3110

Ich dachte vielleicht könnte man das wie eine Art Quader also Länge*Breite*Höhe für das Volumen berechnen damit ich weiß, wie viel m^3 Erde weg müssen

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Hallo,

hier die Rechnung:

$$\int \limits_{2,67}^{5,72}2,4x^2\cdot e^{-0,5x}-4,5=\bigg[e^{-0,5x}(-4,8x^2+19,2x-38,4)-4,5x\bigg]_{2,67}^{5,72}\\ =\big(e^{-0,5\cdot 5,72}(-4,8\cdot 5,72^2+19,2\cdot 5,72x-38,4)-4,5\cdot 5,72\big)\\ -\big(e^{-0,5\cdot 2,67}(-4,8\cdot 2,67^2+19,2\cdot 2,67x-38,4)-4,5\cdot 2,67\big)\\ =(0,0573\cdot(-305,2723)-25,74)\\ -(0,2632\cdot(-123,8827)-12,015)\\=-43,23+44,62=1,39$$

Du berechnest die Kubikmeter Erde nicht mit einem Quader, sondern mit einem Prisma.

Grundfläche = 1,39, Länge oder Höhe = 1.000, also 1.390 Kubikmeter

Answer 3

Bei Aufgabe 3 muss der Winkel nicht berechnet werden. Wenn der Betrag der Ableitung kleiner als 1 ist, dann ist der Winkel kleiner als 45 ° Es ist ja nicht nach dem Winkel gefragt.