Boolsche Algebra - Vereinfachen

Question

Aufgabe zur Bool`schen Algebra:

Die Formel soll mit Hilfe der Regeln der Schaltalgebra vereinfacht werden. Jedoch blicke ich da derzeit nicht durch.

Aufgabe:

\( \left(\overline{\mathrm{X}_{1} \mathrm{X}_{0}} \vee \overline{\mathrm{X}_{0}}\right)\left(\overline{\mathrm{x}_{1} \overline{\mathrm{X}_{0}}}\left(\overline{\mathrm{x}_{2}} \vee \mathrm{x}_{1}\right)\right)\left(\overline{\mathrm{x}_{2}} \vee x_{1}\right) \)

Ansatz:

Als erstes hätte ich bei dieser Aufgabe die Negationen aufgelöst, wodurch ich auf

\( \left(\neg x_{1} \vee \neg x_{0} \vee \neg x_{0}\right)\left(\neg x_{1} \vee x_{0} \vee\left(x_{2} \wedge \neg x_{1}\right)\right)\left(\neg x_{2} \mid \vee x_{1}\right) \)

käme.

Nun weiter, sehe ich, dass -x0 v -x0 = -x0 ist.

So aber von diesem Punkt aus, gehts nichts weiter. Wie "löse" ich die Klammern auf (ausmultiplizieren? Wenn ja, wann gilt das?) Oder kann ich etwas weiteres zusammenfassen?

Answer 1

Aloha :)

$$\phantom{=}(\overline{x_1x_0}+\overline{x_0})(\overline{x_1 \overline{x_0}(\overline{x_2}+x_1)})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=(\,(\overline{x_1}+\underbrace{\overline{x_0})+\overline{x_0}}_{=\overline{x_0}})(\overline{x_1 \overline{x_0}}+\overline{(\overline{x_2}+x_1)})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=(\overline{x_1}+\overline{x_0})(\,(\overline{x_1}+\overline{\overline{x_0}})+\overline{\overline{x_2}}\,\overline{x_1})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=(\overline{x_1}+\overline{x_0})(\overline{x_1}+x_0+x_2\overline{x_1})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=(\overline{x_1}+\overline{x_0})(x_0+\overline{x_1}\underbrace{(1+x_2)}_{=1})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=(\overline{x_1}+\overline{x_0})(x_0+\overline{x_1})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=(\overline{x_1}x_0+\underbrace{\overline{x_0}x_0}_{=0}+\underbrace{\overline{x_1}\cdot\overline{x_1}}_{=\overline{x_1}}+\overline{x_0}\cdot\overline{x_1})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=(\overline{x_1}x_0+\overline{x_1}+\overline{x_0}\cdot\overline{x_1})(\overline{x_2} + x_1)$$$$=\underbrace{(\overline{x_1}\overbrace{(x_0+\overline{x_0})}^{=1}+\overline{x_1})}_{=\overline{x_1}}(\overline{x_2} + x_1)$$$$=\overline{x_1}\cdot\overline{x_2}+\underbrace{\overline{x_1}x_1}_{=0}$$$$=\overline{x_1}\cdot\overline{x_2}=\overline{x_1+x_2}$$