das spiel ist gewonnen wenn drei Sätzen gewonnen wurden ein spiel besteht also aus mindestens 3 Sätzen und höchstens …

Question

Aufgabe: in einem volleyballturnier treffen zwei gleichstarke Mannschaften aufeinander. das spiel ist gewonnen wenn drei Sätzen gewonnen wurden ein spiel besteht also aus mindestens 3 Sätzen und höchstens 5 aus wie vielen Sätzen wird ein solches spiel im Mittel bestehen?

Problem/Ansatz:

Den Erwartungswert habe ich berechnet und ist 4,125.

Aber wie berechnet man die Standardabweichung?

Answer 1

Aloha :)

Bei 2 Mannschaften A und B gibt es folgende Kombinationen für einen Sieg von A:

AAA \(\mapsto\frac{1}{8}\)

AABA, ABAA, BAAA \(\mapsto\frac{3}{16}\)

AABBA, ABABA, BAABA, ABBAA, BABAA, BBAAA \(\mapsto\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\)

Für einen Sieg von B sind die Wahrscheinlichkeiten identisch.

Der Erwartungswert für die Anzahl der Sätze ist daher:

$$\mu=\frac{2}{8}\cdot3+\frac{6}{16}\cdot4+\frac{6}{16}\cdot5=4,125$$

Die Standardabweichung \(\sigma\) folgt aus der Varianz:

$$\sigma^2=\frac{2}{8}(3-4,125)^2+\frac{6}{16}(4-4,125)^2+\frac{6}{16}(5-4,125)^2=\frac{39}{64}\quad\Rightarrow\quad\sigma=0,78$$