Blutgefäß Aufgabe Beispiel

Question

Text erkannt:

zum Mittelpunkt ist. Ein gütiger Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v und dem Abstand \( x \) kann mittels einer Formel \( v(x)=v_{m} \cdot\left(1-\frac{x^{2}}{\beta^{2}}\right) \) modelliert werden.
\( R \ldots \)
\( V_{m} \)
Blutgetatises in \( \mathrm{cm} / \mathrm{s} \)
\( x \ldots \)
\( v(x) \ldots \) Geschwindigkelt des Blutes bei Abstand \( x \) vom Mittelpunkt des Blutgefäßes in cm/s
Butgeati
r das Blutgefäß sinnvoll ist, und begründen Sie,

Beschreibung der Blutgeschwindigkeit ist!
b) In einem Lehrbuch der Medizin wird behauptet, dass beim Abstand \( x=\frac{R}{2} \) die Geschwin- digkeit des Blutes \( 75 \% \) vom maximalen Wert beträgt. Um die Aussage mathematisch zu beweisen, wird der Ansatz \( v(x)=\frac{3}{4} v_{\mathrm{m}} \) gemacht, und damit wird die Stelle \( x \) berechnet.
Führen Sie die Berechnung von der Stelle x aus und zeigen Sie, dass man mit der Berechnung des Funktionswerts \( v\left(\frac{R}{2}\right) \) zum gleichen Ergebnis kommt
c) Formen Sie die gegebene Formel für \( v(x) \) so um, dass man eine Funktion \( x(v) \) erhätt
Erläutern Sie, was der Funktionswert \( x\left(\frac{v_{m}}{2}\right) \) für die Blutströmung bedeutet!
d) Geben Sie die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit \( v \) (bei Veränderung von \( x \) ) beim Abstand \( x \) an und geben Sie an, was das Vorzeichen der Ãnderungsrate über das Verhalten der Blutströmung aussagt!

Answer 1

b)  3/4 vm = vm * ( 1 - x^2 / R^2 )   | : vm

3/4 = 1 - x^2 / R^2    | -1

-1/4 =  -x^2 / R^2   | *(-R^2)

R^2 / 4  =  x^2

==>   x = R/2  weil x<0 nicht sinnvoll ist.

v(R/2) =  vm * ( 1 - (R/2)^2 / R^2 )

v(R/2) =  vm * ( 1 - (R^2/4)/ R^2 )              R^2 kürzen

v(R/2) =  vm * ( 1 - (1/4))  = vm*3/4 

c)  v(x) = v = vm * ( 1 - x^2 / R^2 ) | :vm

            v/vm = 1 - x^2 / R^2  | -1

          v/vm - 1  =  - x^2 / R^2 | *(-1)

      1- v/vm  = x^2 / R^2 |    | *R^2

  R^2 * ( 1 - v/vm ) = x^2

   x =  R * √ ( 1 - v/vm )

d)  v ' (x) =  -R / ( 2vm * √ ( 1 - v/vm ))

negatives Vorzeichen ==>  bei Vergrößerung von x nimmt die

Geschwindigkeit ab.