In einem Blutgefäß hängt die Geschwindigkeit v des Blutes davon ab, wie groß der Abstand x zum Mittelpunkt ist. Ein gültiger Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit v und dem
Abstand x kann mittels einer Formel v(x) = vm ∙ (1 – x2 ) modelliert werden.
Die in der Formel auftretenden Größen sind im Folgenden beschrieben:
R ... Innenradius des Blutgefäßes in mm
vm ... maximale Geschwindigkeit des Blutes im Mittelpunkt des Blutgefäßes in cm/s
x ... Abstand vom Mittelpunkt des Blutgefäßes in mm
v(x) ... Geschwindigkeit des Blutes bei Abstand x vom Mittelpunkt des Blutgefäßes in cm/s
Aufgabenstellung:
a) Geben Sie einen Definitionsbereich für x an, der für das Blutgefäß sinnvoll ist, und begrün- den Sie, warum die Formel eine vereinfachte Beschreibung der Blutgeschwindigkeit ist!
b) In einem Lehrbuch der Medizin wird behauptet, dass beim Abstand x = R2 die Geschwin- digkeit des Blutes 75 % vom maximalen Wert beträgt. Um die Aussage mathematisch zu beweisen, wird der Ansatz v(x) = 34 vm gemacht, und damit wird die Stelle x berechnet.
Führen Sie die Berechnung von der Stelle x aus und zeigen Sie, dass man mit der Berech- nung des Funktionswerts v(R2 ) zum gleichen Ergebnis kommt!
c) Formen Sie die gegebene Formel für v(x) so um, dass man eine Funktion x(v) erhält! Erläutern Sie, was der Funktionswert x(vm) für die Blutströmung bedeutet!
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d) Geben Sie die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit v (bei Veränderung von x) beim Abstand x an und geben Sie an, was das Vorzeichen der Änderungsrate über das Verhalten der Blutströmung aussagt!
