Vollständige Induktion ohne Zahlenwerte

Question

Aufgabe:

Beweisen sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussagen:

a) Für alle n εℕ gilt:

     n

     ∑ (4k-1) = 2n² +n

    k=1

b) Für alle n≥ 2 gilt:

  n

 ∏ (1-1/k) =1/n

k=2

Problem/Ansatz:

Mir ist unklar, wie man aus einer Summe bzw. einem Produkt ohne genaue Zahlenwerte durch vollständige Indukion eine allgemeine Gleichung ableiten bzw. beweisen muss. Wenn man nur zahlenwerte einsetzen könnte wäre dies deutlich einfacher, aber das ist hier ja leider nicht gefordert.

(Die werte die in der zeile über bzw. unter dem Summen-/Produktzeichen stehen sind die "grenzen"

Answer 1

Von 1 bis n ∑ (4k-1) = 2n^2 +n

Induktionsanfang kannst du bestimmt.

I.Schritt.

Formel gelte für n.

\(\sum_{k=1}^{n+1}(4k-1)=\\ \sum_{k=1}^{n}(4k-1)+4(n+1)-1\\ =2n^2+n+4(n+1)-1\\ =2n^2+5n+3\)

\(2(n+1)^2+n+1\\ =4n^2-4n+2+n+1\\ =2n^2+5n+3\)

Fertig!

:-)

Comments

Vielen Dank.

Und wie geht man bei b also bei einem produkt vor?

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Im Prinzip genauso.

Du zeigst, dass es für n=2 gilt.

Dann musst du den Schritt von n auf n+1 machen.

1/n * (1-1/(n+1))

=1/n - 1/(n*(n+1))

=

...

 =1/(n+1)

Answer 2

Wenn du alle Zahlen einsetzen möchtest für die du es zeigen sollst wärst du lange beschäftigt. Es gibt nämlich unendlich viele Zahlen.

Daher setzt du für n den kleinsten Wert ein für den Du es zeigen sollst. Und dann zeigst du im Induktionsschritt, dass wenn die Behauptung für ein n gilt, dass es auch für n + 1 gilt.