Differentialgleichung - V'(x) = -aV(x) - b Treibstoffverbrauch eines Flugzeugs

Question

 

Bitte helft mir, folgende Aufgabe zu lösen. Bin jetzt 2 Tage dran, und schaffs einfach nicht. 

V(x) bezeichne die Anzahl der Liter Treibstoff, die noch im Treibstofftank eines Flugzeuges vorhanden sind, nachdem es x km geflogen ist. Nehmen Sie an, dass V(x) die folgende Differentialgleichung erfüllt:

V'(x) = -aV(x) - b

Der Treibstoffverbrauch pro km ist eine Konstante b > 0. Der Term -aV(x) mit a>0 beruht auf dem Gewicht des Treibstoffes. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung mit V(0) = V₀

Vielen, vielen Dank schon jetzt. Es wäre wirklich eine riesige Hilfe für mich!!!

Grüsse momo93
 

Answer 1

Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung:

Umgestellt:

V'(x) + a*V(x)  = - b

Lösung ist V(x) = V_h(x) + V_p(x)        (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)

Homogene DGL:

V'(x) + a*V(x)  = 0  = dV/dx + a*V(x)

Trennen der Variablen:

dV/V(x) = -a  dx

Integrieren:

ln V(x) = -a*x + C

Daraus folgt:

 V_h(x) = C * e^-ax

Partikuläre Lösung:

Eigentlich Variation der Konstanten, aber da  a und b konstant sind, gibt es nichts zu variieren und es gilt: V_p(x) = -b/a

Allgemeine Lösung:

V(x) = C * e^-ax - b/a

C bestimmen mit V(0) = V₀

Einsetzen in Lösung der DGL:

V₀ = C * e^-a*0 - b/a

Also: C = V₀ + b/a
 

Spezielle Lösung:

V(x) = (V₀ + b/a) * e^-ax - b/a

Comments

Super, vielenvielen Dank!!! Echt super. 

Diese Angaben sind einfach so, oder? Die sind nicht von der Aufgabe herzuleiten?

Lösung ist V(x) = V_h(x) + V_p(x)        (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)

Homogene DGL:

V'(x) + a*V(x)  = 0  = dV/dx + a*V(x)

Trennen der Variablen:

dV/V(x) = -a  dx

Kannst du dann auch die Folgeaufgaben dazu lösen:

b) Wie viele km, x*, kann das Flugzeug fliegen, wenn es mit V₀ Litern im Tank startet?

 

c) Welches ist die Mindestanzahl an Litern V_m, die beim Start benötigt wird, wenn das Flugzeug x^ km fliegen soll?

 

d) Setzen Sie b = 8, a = 0.001, V₀ = 12 000 und x^= 1200. Bestimmen Sie in diesem Fall x* und Vm. 

Vielenvielen Dank.

Lg momo93

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Diese Angaben sind Teil der Lösung einer inhomogenen DGL. Es ist der typische Lösungsweg für diese Art von Aufgaben, insofern sind sie schon durch die Aufgabenstellung vorgegeben.

Die Aufgaben b und c löst man, indem man mit der ermittelten Funktionsgleichung V(x) arbeitet.

b) Das Flugzeug fliegt so lange, bis V = 0 ist, sprich der Treibstoffvorrat verbraucht ist. 

Folglich gilt: 0 = (V₀ + b/a) * e^-ax* - b/a

Also x* =  -1/a * ln [(b/a)/((V₀ + b/a)]

c) Das Flugzeug soll nach x^ Kilometern keinen Treibstoff mehr haben, bei V₀= V_m.

Folglich gilt: 0 = (V_m + b/a) * e^{-ax^} - b/a

Also V_m =  (b/a)*e^{ax^} - b/a

d) In die bei b und c gewonnenen Formeln die Werte einsetzen:

       x* = -1/0,001 * ln [(8/0,001)/((12000 + 8/0,001)] = 916,3 km.

       V_m =  (8/0,001)*e^0,001*1200 - 8/0,001 = 18560,9 l.