Wegen √(an) → a ist
1. die Folge zu √(an) beschränkt und ohne negative Werte
also s > 0 eine untere Schranke
2. a > 0, da nach Vor. a≠0 .
Sei nun ε>0 , Dann ist auch δ = s*a*ε > 0 .
Wegen √(an) → a gibt es ein no mit
| a- √(an) | < δ für alle n > no #
Und es gilt | 1/√(an) - 1/a | = | ( a- √(an) ) / ( a*(an) ) |
Der Nenner ist nie negativ , also
= | ( a- √(an) ) | / ( a*(an) )
Und wegen # ist der Zähler < δ , also
< δ / ( a*(an) ) ##
= s*a*ε / ( a*(an) )
= s*ε / (an)
= s/an * ε ###
und da s eine unt. Schranke für an ist, gilt für
alle n jedenfalls s ≤ an ==> s/an ≤ 1 und ## setzt sich fort mit
≤ ε .
Wegen des < in Zeile ## ist also insgesamt | 1/√(an) - 1/a | < ε
für alle n > no.
