Zeige oder widerlege die Konvergenz dieser Folge

Question

Aufgabe:

Die Folge (c_n)_n∈ℕ sei für alle x ≥ 0 definiert. Zeigt oder widerlegt die Konvergenz dieser Folge

c_n = \( \sqrt{n^2+x} \) -n

Wie mache ich das? ^^ :)

Comments

Erweitere mit \(\sqrt{...}+n\)

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Hier reicht es, wenn du \(c_n\) ein wenig umformst. Erweitere den Bruch so, dass du im Zähler die 3-te binomsiche Formel anwenden kannst:$$c_n=\sqrt{n^2+x}-n=\frac{(\sqrt{n^2+x}-n)(\sqrt{n^2+x}+n)}{\sqrt{n^2+x}+n}=\frac{(n^2+x)-n^2}{\sqrt{n^2+x}+n}$$$$\phantom{c_n}=\frac{x}{\sqrt{n^2+x}+n}\stackrel{(x\ge0)}\le\frac{x}{\sqrt{n^2+0}+n}=\frac{x}{2n}\to0$$Also konvergiert \((c_n)\) für alle \(x\ge0\) gegen \(0\).

Comments

Du rettest mich jedes mal aufs Neue :)

Danke Dir =)

Answer 2

Hmmm - Cauchy-Kriterium anwenden, würde ich sagen.

Comments

Das würde ich gerne mal sehen

Gruß Mathhilf